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1. \(u_{n+1}=2^{n+1}+n\left ( n+1 \right )\) et \(u_{n-1}=2^{n-1}\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )\)

2. \(u_{n+1}=\dfrac {5^{n+1}\left ( n+1 \right )}{\sqrt {n+1}}\) et \(u_{n-1}=\dfrac {5^{n-1}\left ( n-1 \right )}{\sqrt {n}}\)

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1. \(u_{1}=0\times u_{0}+1=1,\) \(u_{2}=1\times u_{1}+1=2\) et \(u_{3}=2\times u_{2}+1=5.\)

2. \(u_{1}=0^0+0^0=2\) (par convention \(0^0=1\))

   \(u_{2}=u_{1}^1+1^{u_{1}}=2^1+1^2=3\)

   \(u_{3}=u_{2}^2+2^{u_{2}}=3^2+2^3=17\)

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1. \(u_{200}=u_{199}-3=0\)

2. On utilise la relation qui lie deux termes quelconques d’une suite arithmétique de raison \(r\) : pour tous entiers \(n\) et \(p,\) \(u_{n}=u_{p}+\left ( n-p \right )r.\) On a donc

   \begin {align*} u_{200} &= u_{36}+\left ( 200-36 \right )\times 5 \\ &= -63+\left ( 200-36 \right )\times 5 \\ &= 757 \\ \end {align*}

3. \(\left ( u_{n} \right )\) est la suite arithmétique de raison \(2\) et de premier terme \(u_{0}=3.\) De la même manière que précédemment :

   \begin {align*} u_{200} &= u_{0}+200\times 2 \\ &= 403 \\ \end {align*}

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• Pour montrer qu’une suite \(\left ( u_{n} \right )\) est arithmétique il suffit de montrer que pour tout \(n\in \GN ,\) \(u_{n+1}-u_{n}\) est égal à une constante.

• En revanche, pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique, un contre-exemple suffit et pour cela on montre souvent que \(u_{2}-u_{1}\ne u_{1}-u_{0}.\)

Enfin, rappelons que le terme de rang \(n\) d’une suite arithmétique est de la forme \(u_{n}=an+b.\)

1. Le calcul de \(u_{n+1}-u_{n}\) semble un peu indigeste, on va donc le garder pour un dernier recours ! D’après la remarque précédente, soit la suite est arithmétique et l’expression se simplifie pour obtenir une expression de la forme \(u_{n}=an+b\) soit elle n’est pas arithmétique et dans ce cas on calcule \(u_{0},\) \(u_{1}\) et \(u_2.\)

   Essayons de voir si on peut factoriser \(2n^2+5n+3\) :

   \(\Delta =5^2-4\times 2\times 3=1,\) \(n_{1}=-1\) et \(n_{2}=-\dfrac {3}{2}.\)

   Ainsi \(2n^2+5n+3=2\left ( n+1 \right )\left ( n+\dfrac {3}{2} \right )=\left ( 2n+3 \right )\left ( n+1 \right ).\) Comme \(n+1\ne 0\) pour tout \(n\in \GN ,\) on en déduit que \[u_{n}=\dfrac {\left ( 2n+3 \right )\left ( n+1 \right )}{n+1}=2n+3.\]

   \(u_{n+1}-u_{n}=2\left ( n+1 \right )+3-\left ( 2n+3 \right )=2.\)

   La suite \(\left ( u_{n} \right )\) est donc arithmétique de raison \(2.\)

2. Soit \(n\in \GN .\)

   \(u_{n+1}-u_{n}=\dfrac {-2\left ( n+1 \right )+3}{6}-\dfrac {-2n+3}{6}=-\dfrac {1}{3}.\)

   La suite \(\left ( u_{n} \right )\) est donc arithmétique de raison \(-\dfrac {1}{3}.\)

3. La suite proposée ne semble pas pouvoir être mise sous la forme \(u_{n}=an+b,\) elle n’est donc probablement pas arithmétique. Calculons \(u_{0},\) \(u_{1}\) et \(u_{2}\) :

   \(u_{0}=2,\) \(u_{1}= \dfrac {7}{2}\) et \(u_{2}=4.\)

   \(u_{2}-u_{1}=\dfrac {12}{3}-\dfrac {7}{2}=\dfrac {1}{2}\) et \(u_{1}-u_{0}=\dfrac {3}{2}.\)

   On a donc \(u_{2}-u_{1}\ne u_{1}-u_{0}\) et la suite n’est pas arithmétique.

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1. • On commence par déterminer la valeur de la raison :

     \(\begin {matrix} u_{18}=u_{5}+\left ( 18-5 \right )r & \iff & 4=-2+13r \\ & \iff & r=\dfrac {6}{13} \\ \end {matrix}\)

   • On détermine \(u_{n}\) en fonction de \(n\) : pour tout \(n\in \GN ,\)

     \begin {align*} u_{n} &= u_{5}+\left ( n-5 \right )\dfrac {6}{13} \\ &= -2+\left ( n-5 \right )\dfrac {6}{13} \\ &= -\dfrac {56}{13}+\dfrac {16}{13}n \\ \end {align*}

   • puis \(u_{0}=-\dfrac {56}{13}.\)

2. de la même manière :

   • \(\begin {matrix} u_{10}=u_{2}+\left ( 10-2 \right )r & \iff & \dfrac {1}{5}= \dfrac {6}{5} + 8 r \\ & \iff & r= -\dfrac {1}{8} \\ \end {matrix}\)

   • \(u_{n}=u_{2}+\left ( n-2 \right )\times \left ( -\dfrac {1}{8} \right )=\dfrac {29}{20}-\dfrac {n}{8} \)

   • \(u_{0}=\dfrac {29}{20}\)

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1. Pour cette première somme, la raison \(r\) vaut \(r=\dfrac {5}{6}-\dfrac {1}{3}=\dfrac {1}{2}.\)

   Posons \(u_{0}=\dfrac {1}{3}\) et déterminons le rang \(n\) de \(\dfrac {53}{6}\) :

   \(\begin {matrix} u_{n}=u_{0}+nr & \iff & \dfrac {53}{6}=\dfrac {1}{3}+n\times \dfrac {1}{2} \\ & \iff & n= 17 \\ \end {matrix}\)

   On en déduit qu’il y a \(18\) termes dans cette somme (puis qu’on commence à \(0\)). On a donc \[S=18\times \dfrac {\dfrac {1}{3}+\dfrac {53}{6}}{2}=\dfrac {165}{2}.\]

2. De la même manière, on détermine \(r=-\dfrac {1}{3}\) puis \(u_{20}=-\dfrac {5}{3}.\) On en déduit qu’il y a \(21\) termes dans cette somme d’où \[S=21\times \dfrac {5-\dfrac {5}{3}}{2}=35.\]

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\(u_{5}=4+5\times \dfrac {1}{5}=5\) et \(u_{16}=4+16\times \dfrac {1}{5}=\dfrac {36}{5}.\)

Comme il y a \(16-5+1=12\) termes dans cette somme : \[S=12\times \dfrac {5+\dfrac {36}{5}}{2}=\dfrac {366}{5}.\]

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1. On utilise la relation qui lie deux termes quelconques d’une suite géométrique de raison \(q\) : pour tous entiers \(n\) et \(p,\) \(u_{n}=u_{p}q^{n-p}.\)

   On a donc \(u_{20}=u_{5}\times \left ( \dfrac {1}{2} \right )^{20-5}=10\times \left ( \dfrac {1}{2} \right )^{15}=\dfrac {5}{16384}.\)

2. De la même manière on a :

   \(u_{20}=u_{23}\times \left ( -1 \right )^{20-23}=2\times \left ( -1 \right )^{-3}=-2.\)

3. La suite \(\left ( u_{n} \right )\) a pour raison \(\dfrac {1}{3}\) et comme premier terme \(-1\) donc :

   \(u_{20}=u_{0}\times \left ( \dfrac {1}{3} \right )^{20}= -\dfrac {1}{3^{20}}.\)

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1. Soit \(n\in \GN .\) \(\dfrac {u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac {\dfrac {2^{n+1}}{5^{n+2}}}{\dfrac {2^n}{5^{n+1}}}= \dfrac {2^{n+1}}{5^{n+2}}\times \dfrac {5^{n+1}}{2^n}= \dfrac {2}{5}.\)

   La suite \(\left ( u_{n} \right )\) est géométrique de raison \(q=\dfrac {2}{5}.\)

2. \(\left ( u_{n} \right )\) est géométrique de raison \(q=-2.\)

3. \(u_{0}=5,\) \(u_{1}=6\) et \(u_{2}=8.\) On a donc \(\dfrac {u_{1}}{u_{0}}=\dfrac {6}{5}\) et \(\dfrac {u_{2}}{u_{1}}=\dfrac {8}{6}=\dfrac {4}{3}.\)

   \(\dfrac {u_{1}}{u_0}\ne \dfrac {u_{2}}{u_{1}}\) donc \(\left ( u_n \right )\) n’est pas une suite géométrique.

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On en déduit que \(q=2\) ou \(q=-2.\) Mais d’après l’énoncé \(q>0\) donc \(q=2.\)

On en déduit que, pour tout \(n\in \GN ,\)

\(u_{n}=u_{24}\times 2^{n-24}=3\times \dfrac {2^n}{2^{24}}=\dfrac {3}{2^{24}}\times 2^n.\)

Pour \(n=0,\) \(u_{0}=\dfrac {3}{2^{24}}.\)

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\(u_{n}=u_{23}\times \left ( -1,1 \right )^{n-23}=5\times \dfrac {\left ( -1,1 \right )^n}{\left ( -1,1 \right )^{23}}= -\dfrac {3}{1,1^{23}}\times \left ( -1,1 \right )^n.\)

et \(u_{0}= -\dfrac {3}{1,1^{23}}.\)

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1. \(u_1=-3,\) \(u_2=9\) et \(u_3=\dfrac {21}{5}.\)

   • \(u_1-u_0=-3\) et \(u_2-u_1=12\) donc \(u_1-u_0\ne u_2-u_1.\) On en déduit que la suite n’est pas arithmétique.

   • Comme \(u_0=0,\) si la suite \(\left ( u_n \right )\) était géométrique, tous les termes seraient nuls, or \(u_1\ne -3\) donc \(\left ( u_n \right )\) n’est pas géométrique.

2. 1. Soit \(n\in \GN .\)

      \(\begin {matrix} v_{n+1} &=& \dfrac {u_{n+1}-3}{u_{n+1}-1}\\ &=& \dfrac {\dfrac {5u_n-3}{u_n+1}-3}{\dfrac {5u_n-3}{u_n+1}-1}\\ &=& \dfrac {\dfrac {5u_n-3-3u_n-3}{u_n+1}}{\dfrac {5u_n-3-u_n-1}{u_n+1}}\\ &=& \dfrac {2u_n-6}{4u_n-4}\\ &=& \dfrac {2}{4}\times \dfrac {u_n-3}{u_n-1}\\ &=& \dfrac {1}{2}v_n \end {matrix}\)

      \(\left ( v_n \right )\) est donc géométrique de raison \(q=\dfrac {1}{2}\) et de premier terme \(v_0=\dfrac {u_0-3}{u_0-1}=3.\)

   2. Pour tout \(n\in \GN ,\) \(v_n=3\times \left ( \dfrac {1}{2} \right )^n=\dfrac {3}{2^n}.\)

   3. Exprimons \(u_n\) en fonction de \(v_n.\)

      \begin {align*} v_n&=\dfrac {u_n-3}{u_n-1}\\ v_n\left ( u_n-1 \right )&=u_n-3\\ v_nu_n-v_n&=u_n-3\\ v_nu_n-u_n&=v_n-3\\ u_n\left ( v_n-1 \right )&=v_n-3\\ u_n&=\dfrac {v_n-3}{v_n-1} \end {align*}

      On en déduit l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) : \[u_n=\dfrac {\dfrac {3}{2^n}-3}{\dfrac {3}{2^n}-1}=\dfrac {3-3\times 2^n}{3-2^n}.\]

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1. Pour tout \(n\in \GN ,\) posons \(v_n=u_{2n}\) et \(w_n=u_{2n+1}.\)

   • Les premiers termes de \(\left ( v_n \right )\) sont : \(\dfrac {1}{3},\ \dfrac {2}{3^2},\ \dfrac {2^2}{3^3}\ldots \)

     On passe d’un terme au suivant en multipliant par \(\dfrac {2}{3}\) donc \(\left ( v_n \right )\) est géométrique de raison \(\dfrac {2}{3}\) et de premier terme \(v_0=\dfrac {1}{3}.\)

     On en déduit que pour tout \(n\in \GN ,\) \(u_{2n}=v_{n}=\dfrac {1}{3}\times \left ( \dfrac {2}{3} \right )^n.\)

   • Les premiers termes de \(\left ( w_n \right )\) sont : \(\dfrac {2}{3},\ \dfrac {2^2}{3^2},\ \dfrac {2^3}{3^3}\ldots \)

     On passe d’un terme au suivant en multipliant par \(\dfrac {2}{3}\) donc \(\left ( w_n \right )\) est géométrique de raison \(\dfrac {2}{3}\) et de premier terme \(w_0=\dfrac {2}{3}.\)

     On en déduit que pour tout \(n\in \GN ,\) \(u_{2n+1}=w_{n}=\dfrac {2}{3}\times \left ( \dfrac {2}{3} \right )^n=\left ( \dfrac {2}{3} \right )^{n+1}\)

2. 1. \(R_n=v_0+\ldots +v_n=\dfrac {1}{3}\times \dfrac {1-\left ( \dfrac {2}{3} \right )^{n+1}}{1-\dfrac {2}{3}}=1-\left ( \dfrac {2}{3} \right )^{n+1}\)

   2. \(S_n=w_0+\ldots +w_n=\dfrac {2}{3}\times \dfrac {1-\left ( \dfrac {2}{3} \right )^{n+1}}{1-\dfrac {2}{3}}=2\left ( 1-\left ( \dfrac {2}{3} \right )^{n+1} \right )\)

   3. On distingue le cas pair du cas impair.

      • Si \(n\) est impair, il existe \(p\in \GN \) tel que \(n=2p+1.\) On a alors :

        \begin {align*} T_n&= R_p+S_p\\ &= 1-\left ( \dfrac {2}{3} \right )^{p+1}+2\left ( 1-\left (\dfrac {2}{3} \right )^{p+1}\right )\\ &= 3\left ( 1-\left ( \dfrac {2}{3} \right )^{p+1} \right )\\ &= 3\left ( 1-\left ( \dfrac {2}{3} \right )^{\frac {n+1}{2}} \right ) \end {align*}

      • Si \(n\) est pair, il existe \(p\in \GN \) tel que \(n=2p.\) On a alors :

        \begin {align*} T_n&= R_p+S_{p-1}\\ &= 1-\left ( \dfrac {2}{3} \right )^{p+1}+2\left ( 1-\left ( \dfrac {2}{3} \right )^{p} \right )\\ &=3-\left ( \dfrac {2}{3} \right )^{p+1}-2\times \left ( \dfrac {2}{3} \right )^p\\ &= 3-\left ( \dfrac {2}{3} \right )^{p}\left ( \dfrac {2}{3}+2 \right )\\ &= 3 - \left ( \dfrac {2}{3} \right )^{p}\times \dfrac {8}{3}\\ &= 3-4\times \left ( \dfrac {2}{3} \right )^{p+1}\\ &=3-4\times \left ( \dfrac {2}{3} \right )^{\frac {n+2}{2}} \end {align*}