\documentclass[a4paper,oneside]{book}
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\lhead{Première spé math}
\chead{}\rhead{ Suites numériques}
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\setstretch{1.1}
\def\interlignespacing{1.1}
\setcounter{secnumdepth}{5}

\begin{document}

\titre{Suites numériques}{}

\section{Généralités sur les suites}

  \subsection{Notion de suites}

  \defic{}{
  \begin{itemize}
	\item Une suite $u$ est une fonction définie sur $\GN$ (ou à partir d'un entier $n_{0}$) qui à
	  chaque entier ($n\geq n_{0}$), associe un réel noté $u\left( n \right)$ ou, plus généralement,
	  $u_{n}$.
	\item On note $\left( u_{n} \right)_{n\geq n_{0}}$ ou $\left( u_{n} \right)$ ou $u$ cette suite.
	\item $u_{n}$ est appelé terme de rang $n$ de la suite $\left( u_{n} \right)$.
  \end{itemize}
  }

  \begin{exempleff}
	\begin{itemize}
	  \item On définit $\left( u_{n} \right)_{n\geq 1}$ par $u_{n}$ est le $n-\text{ième}$ chiffre
		du développement décimal de $\pi.$ \acompleter  \\

		\acompleter \\

		\acompleter 

	  \item  On effectue en 2021 un placement écologique et solidaire d'un montant de $\nombre{1000}$
		\Euro dont le rendement est de $2~\%$ par an.  
		\vphantom{${\strut 2}^{\strut 2}$}		\acompleter \\

		\acompleter \\

		\acompleter \\

		\acompleter \\

		\acompleter \\

		\acompleter 

	  \item On définit $\left( F_{n} \right)_{n\geq 0}$ par $F_{0}=0,$ $F_{1}=1$ et, pour tout
		$n\geq 2,$ $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}.$  
		\acompleter \\

		\acompleter \\

		\acompleter \\ 

		\acompleter  
		
%		$u_{0}=1$, $u_{1}=2$, $u_{2}=6$, $u_{3}=24$, $u_4=120$, $\ldots$
%
%		$u_{0}$ est le premier terme, $u_{0}=1$. 
%		
%		Le terme de rang $n$ est  $u_{n}$.  $u_{n}=$ \acompleter  \\
%
%		\acompleter \\ 

%		On peut aussi définir $u_n$ en écrivant : \acompleter \\ 
%
%		\acompleter \\ 
%	  \item Soit $\left( v_{n} \right)_{n\geq 3}$ la suite définie par :\\
%
%		$v_{3}=u_{0}$, $v_{4}=u_{1}$, \acompleter \\
%
%		\acompleter \\ 
%
%		\acompleter 
	\end{itemize}
  \end{exempleff}

  \subsection{Différentes manière de générer une suite}

    \subsubsection{Par une formule explicite}

	On exprime $u_{n}$ en fonction de $n$.

	\begin{exempleff}
	  \begin{itemize}
		\item $\left( u_{n} \right)_{n\in \GN}$ est définie par $u_{n}=\dfrac{n}{n+1}$.\\

		  On a donc \acompleter \\

		  \textit{Représentation graphique :}\\

		  On place dans un repère les points $A_{n}$de coordonnées $\left( n \pv u_{n} \right)$.\\

		  \begin{center}
		
			\psset{xunit=2cm,yunit=5cm}
			\begin{pspicture}(-1,-0.2)(5,1.2)
			  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=0.2]{-1}{-0.2}{5}{1.2}
			  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
			  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=0.2]{-1}{-1}{5}{6}
			  \MesAxesEtiquettes{$n$}{$u_{n}$}
			  \psplot[plotpoints=100]{0}{5}{ x x 1 add div }
			  \uput{.2}[225](0,0){$0$}
			\end{pspicture}
		  \end{center}
		  \begin{remff}
			Si on considère  
			${
			  \renewcommand{\arraystretch}{.75}
			\setlength{\arraycolsep}{1pt}
			 \begin{array}[t]{rl}
			   f  \colon & \Intfo{0}{+\infty} \to \GR\\
			   & x \mapsto \dfrac{x}{x+1\strut}\\ \end{array} }$, les termes de la suite sont les ordonnées
			   des points  d'abscisses entières de la courbe
			   $\Courbe[f]$.
		  \end{remff}
		\item $\left( u_{n} \right)$ est définie par $u_{n}=\left\{ \begin{array}{l} n
			\text{ si $n$ est pair,} \\ n^{2} \text{ sinon}\\ \end{array} \right.$

		  \textit{Représentation graphique :}\\

		  \begin{center}
		
			\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
			\begin{pspicture}(-1,-1)(5,10)
			  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=2]{-1}{-1}{5}{10}
			  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
			  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-1}{-1}{5}{10}
			  \MesAxesEtiquettes{$n$}{$u_{n}$}
			  \uput{.2}[225](0,0){$0$}
			\end{pspicture}
		  \end{center}

	  \end{itemize}
	\end{exempleff}

    \subsubsection{Par une formule de récurrence}

	Une suite $\left( u_{n} \right)$ peut être définie à partir d'un terme donné (le premier en
	général) et d'une relation dite de \textbf{récurrence} qui exprime le terme de rang $n+1$ en
	fonction du terme de rang $n$.

	\begin{exempleff}
	  On pose $u_{0}=-1$ et, pour tout $n\in  \GN$, $u_{n+1}=\sqrt{2u_{n}+6}$.\\

	  On a alors \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \textbf{Visualisation des termes sur un graphique :}

	  On considère la fonction $f$ définie sur $\Intfo{-3}{+\infty}$ par $f\left( x
	  \right)=\sqrt{2x+6}$ et note $\Courbe[f]$ sa représentation graphique dans un repère.

	  \begin{center}
	
		\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
		\begin{pspicture}(-4,-1)(5,5)
		  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-4}{-1}{5}{5}
		  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
		  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-4}{-1}{5}{5}
		  \MesAxesEtiquettes{$x$}{$y$}
		  \psplot[plotpoints=100]{-3}{5}{ x 2 mul 6 add 0.5 exp }
		  \uput{.2}[225](0,0){$0$}
		\end{pspicture}
	  \end{center}
	  \bigskip


		\acompleter \\

		\acompleter \\

		\acompleter \\

		\acompleter \\

		\acompleter \\

		\acompleter \\ 

		\acompleter \\ 

	\end{exempleff}
	
\begin{savoirfaire}[ Utiliser une suite définie par une formule explicite]
  

Soit  $\left( u_{n} \right)$  la suite définie, pour tout $n\in \GN$, par $u_{n}=n^2+3n-4$.
\begin{enumerate}
  \item Calculer $u_{0}$, $u_{1}$ et $u_{2}$.\\

	\acompleter \\ 

  \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$.\\

	\acompleter \\

	\acompleter \\ 
  \item Exprimer $u_{3n+2}$ en fonction de $n$.\\

	\acompleter \\

	\acompleter \\ 


\end{enumerate}
\end{savoirfaire}

\begin{savoirfaire}[Utiliser une suite définie par une formule de récurrence]

  


Soit $\left( u_{n} \right)$ la suite définie par $u_{0}=-5$ et, pour tout $n\in \GN$, par
$u_{n+1}=u_{n}^2+3u_{n}-4$.
\begin{enumerate}
  \item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.\\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

  \item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $u_{n-1}$.\\

	\acompleter \\ 
\end{enumerate}
\end{savoirfaire}


\begin{savoirfaire}[Écrire un algorithme qui calcule les termes d'une suite]
  

\begin{enumerate}
  \item Écrire des algorithmes qui calculent les $n$ premiers termes de la suite du savoir-faire 2.\\

	\acompleter \\ 

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter 
\end{enumerate}
\end{savoirfaire}


\section{Suites arithmétiques}

  \subsection{Définition}

  \defic{}{
  On dit qu'une suite $\left( u_{n} \right)$ est arithmétique s'il existe un nombre réel $r$ tel
  que, pour tout $n\in \GN$,
  \[u_{n+1}=u_{n}+r.\]
  La constante $r$ s'appelle \textbf{la raison } de la suite $\left( u_{n} \right)$.
  }


  \textbf{Illustration :} \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \begin{exempleff}
	\begin{itemize}
	  \item Suite arithmétique de premier terme $u_{0}=1$ et de raison $1$ : \\

		\acompleter \\
	  \item $u_{0}=-10$, $u_{1}=-6$, $u_{2}=-2$, $u_{3}=2$, \ldots\\

		\acompleter \\ 

		\acompleter \\ 
	\end{itemize}
  \end{exempleff}

  \begin{savoirfaire}[Reconnaitre une suite arithmétique]
	

  $\left( u_{n} \right)$ est-elle arithmétique ?
  \begin{enumerate}
	\item $u_{n}=\left( 4-n \right)^2-n^2$. \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter
	\item $u_{n}=n^2$\\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter 
	\item $u_{n}=5n-3$\\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter 
  \end{enumerate}
  \end{savoirfaire}

  \subsection{Expression du terme de rang {\boldmath $n$}}

  \proprc{}{
  Soit $\left( u_{n} \right)$ une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison
  $r$.
  \begin{itemize}
	\item Pour tout entier naturel $n\in \GN$, $u_{n}=u_{0}+nr$.
	\item Pour tous entiers naturels $n$ et $p$, $u_{n}=u_{p}+\left( n-p \right)r$.
  \end{itemize}
  }

  \textbf{Illustration :}\\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \begin{demf}
	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter 
	\vspace{-0.2cm}
  \end{demf}

  \begin{savoirfaire}[Déterminer un terme d'une suite arithmétique]
  $\left( u_{n} \right)$ est une suite arithmétique. Déterminer $u_{10}$.
  \begin{enumerate}
	\item $u_{0}=8$ et pour tout $n\in\GN$, $u_{n+1}=u_{n}+3$.\\

	  \acompleter \\

	  \acompleter 
	\item $u_{5}=8$ et $u_{9}=10$.\\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\
	  
	  \acompleter 

	\item $u_{15}=16$ et $r=2$. \\

	  \acompleter 
  \end{enumerate}
  \end{savoirfaire}


  \subsection{Représentation graphique}

  Soit $\left( u_n \right)$ une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$ et
  $A_{n}$ les points de coordonnées $\left( n\pv u_{n} \right)$ dans un repère. 

  Pour tout $n\in\GN$, $u_{n}=u_{0}+nr$. On considère la droite d'équation $y=rx+u_{0}$.\\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \begin{center}

	\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(8,5)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-1}{-1}{8}{5}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-1}{-1}{8}{5}
	  \MesAxesEtiquettes{$n$}{$u_{n}$}
	\end{pspicture}
  \end{center}


  \subsection{Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique}

  \theoc{}{
  Soit $n\in\GN^*$, on a \[1+2+\ldots+n=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}.\]
  }

  \begin{demf}
	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\ 
  \end{demf}

  \textbf{Exemple d'application :} \\

  Soient $p$ et $k$ deux entiers naturels et $\left( u_{n} \right)$ une suite arithmétique de raison
  $r$. On pose \[S=u_{p}+u_{p+1}+\ldots+u_{p+k}.\]
  \smallskip

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\
  
  \acompleter \\

   \begin{savoirfaire}[Calculer une somme]
	 

  Calculer la somme $S=3+6+9+12+\ldots+297+300$.\\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 
   \end{savoirfaire}

\section{Suite géométrique}

  \subsection{Définition}

  \defic{}{
  On dit qu'une suite $\left( u_{n} \right)$ est géométrique lorsqu'il existe un nombre réel
  $q$ non nul tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=qu_{n}$.

  La constante $q$ s'appelle la raison de la suite $\left( u_{n} \right)$.
  }

  \textbf{Illustration :} \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \begin{exempleff}
	$u_{0}=\dfrac{1}{16}$, $u_{1}=\dfrac{1}{4}$, $u_{2}=1$,\ldots\\

		\acompleter \\ 
  \end{exempleff}

  \begin{savoirfaire}[Reconnaitre une suite géométrique]
	

  Indiquer dans chaque cas si la suite $\left( u_{n} \right)$ est géométrique.
  \begin{enumerate}
	\item $u_{n}=3\times2^n$\\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	\item $u_{0}=2$, $u_{n+1}=\left( 3u_{n}+4 \right)^2$\\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\ 
  \end{enumerate}
  \end{savoirfaire}


  \subsection{Expression du terme de rang {\boldmath $n$}}

  \proprc{}{
  Soit $\left( u_{n} \right)$ une suite géométrique de premier terme $u_{0}$ et de raison $q$.
  \begin{itemize}
	\item Pour tout entier $n\in \GN$ $u_{n}=u_{0}\times q^n$.
	\item Pour tous entiers naturels $p$ et $n$, $u_{n}=u_{p}\times q^{n-p}$.
  \end{itemize}
  }

  \textbf{Illustration :}\\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \begin{demf}
	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter 
	\vspace{-0.2cm}
  \end{demf}


  \begin{savoirfaire}[Déterminer un terme d'une suite géométrique]
	

  Dans chaque cas déterminer $u_{10}$ sachant que : 
  \begin{enumerate}
	\item $u_{0}=8$, $\forall n \in \GN$, $u_{n+1}=3u_{n}$.\\

	  \acompleter \\

	\item $u_{5}=6$, $u_{8}=48$.\\

	  \acompleter \\

	  \acompleter 
  \end{enumerate}
  \end{savoirfaire}

  \begin{savoirfaire}[Déterminer un rang à l'aide de la fonction \textrm{TABLE} de la calculatrice]

	La suite $\left( u_{n} \right)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $u_{0}=5.$
	
	Déterminer le rang à partir duquel $u_{n}\leq 0,1.$\\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter 

	
  \end{savoirfaire}

  \subsection{Sommes des termes d'une suite géométrique}

  \proprc{}{
  Soit $n\in \GN$ et $q\in\GR.$
  %Pour tout réel $q\ne 1$,
  \[1+q+q^2+\ldots+q^{n}= 
	\begin{cases} n+1 & \text{ si } q=1 \\ 
	  \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text{ si } q\ne 1
	\end{cases}
.\]
  
  }

  \begin{demf}
	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter 
	\vspace{-0.2cm}
  \end{demf}

  \textbf{Exemple d'application :}

  Soit $\left( u_{n} \right)$ une suite géométrique de raison $q\ne1$ et de premier terme
  $u_{0}$.

  On pose $S_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}$.\\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

   \begin{savoirfaire}[Calculer une  somme]
	 

  Calculer $2^2+2^3+\ldots+2^{20}$.\\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 

   \end{savoirfaire}

   \begin{remff}

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 

	 
   \end{remff}

\section{Variations d'une suite}

  \defic{}{
  Soit $\left( u_{n} \right)$ une suite.
  \begin{itemize}
	\item On dit que la suite $\left( u_{n} \right)$ est croissante lorsque pour tout $n\in\GN$,
	  $u_{n}\leq u_{n+1}$.
	\item On dit que la suite $\left( u_{n} \right)$ est décroissante lorsque pour tout $n\in\GN$,
	  $u_{n}\geq u_{n+1}$.
	\item  On dit qu'une suite est monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante.
  \end{itemize}
  }

  \begin{remff}
	\mbox{}
	\begin{itemize}
	  \item \og Étudier la monotonie d'une suite $\left( u_{n} \right)$\fg signifie déterminer le sens de variation de $\left( u_{n} \right)$.
	  \item Dans la pratique on étudiera le signe $u_{n+1}-u_{n}$.
	  \item Il est possible de donner une définition plus fine en considérant qu'une suite peut
		n'être croissante (resp. décroissante) qu'a partir d'un certain rang $n_{0}$ : pour tout
		$n \geq n_{0}$, $ u_{n}\leq u_{n+1}$ 
		
		(resp. $u_{n}\geq u_{n+1}$). 
	  \item Si l'inégalité est stricte, on dit que la suite est strictement monotone (strictement
		croissante ou strictement décroissante).
	\end{itemize}
  \end{remff}

  \begin{exempleff}
	\medskip
	\medskip

	\begin{minipage}[t]{.3\textwidth}
	\begin{center}
	\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm}
	\begin{pspicture}(-1,-5)(10,8)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=2]{-1}{-5}{10}{8}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-1}{-5}{10}{8}
	  \MesAxesEtiquettes{$n$}{$u_{n}$}
	  %\uput{.2}[225](0,0){$0$}
	\end{pspicture}
	\medskip

  \acompleter \\
	\medskip

  \acompleter \\ 
	\end{center}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{.3\textwidth}
	\begin{center}
	\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm}
	\begin{pspicture}(-1,-5)(10,8)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=2]{-1}{-5}{10}{8}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-1}{-5}{10}{8}
	  \MesAxesEtiquettes{$n$}{$u_{n}$}
	  %\uput{.2}[225](0,0){$0$}
	\end{pspicture}
	\medskip

  \acompleter \\
	\medskip

  \acompleter \\ 
	\end{center}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}[t]{.3\textwidth}
	\begin{center}
	\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm}
	\begin{pspicture}(-1,-5)(10,8)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=2]{-1}{-5}{10}{8}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-1}{-5}{10}{8}
	  \MesAxesEtiquettes{$n$}{$u_{n}$}
	  %\uput{.2}[225](0,0){$0$}
	\end{pspicture}
	\medskip

  \acompleter \\
	\medskip

  \acompleter \\ 
	\end{center}
	\end{minipage}

  \end{exempleff}


  \proprc{}{
  \begin{itemize}
	\item Si pour tout entier naturel $n$, $u_{n}>0$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\geq 1$, alors la
	  suite $\left( u_{n} \right)$ est croissante.\\
	\item Si pour tout entier naturel $n$, $u_{n}>0$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\leq 1$, alors la
	  suite $\left( u_{n} \right)$ est décroissante.
  \end{itemize}
  }
  \begin{demf}
	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter 
	\vspace{-0.2cm}
  \end{demf}

  \vspace{-0.5cm}

  \proprc{}{
	\smallskip
  Soit $f$ la fonction telle que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=f\left( n \right)$.
  \begin{itemize}
	\item Si $f$ est croissante sur $\Intfo{0}{+\infty}$, alors la suite $\left( u_{n} \right)$ est
	  croissante.
	\item Si $f$ est décroissante sur $\Intfo{0}{+\infty}$, alors la suite $\left( u_{n} \right)$ est
	  décroissante.
  \end{itemize}
  }
  \begin{demf}
	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\ 

	\acompleter
	\vspace{-0.2cm}
  \end{demf}

  \begin{savoirfaire}[Étudier la monotonie d'une suite]


  Dans chaque cas, étudier la monotonie de la suite $\left( u_{n} \right)$

  \begin{enumerate}
	\item $u_{0}=-5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_{n}+n^2-2n+1$.\\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\
	\item Pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\left( n+1 \right)\times 3^n$.\\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\ 

	\item Pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\sqrt{3+\left( -1 \right)^n}$.\\

	  \acompleter \\

	  \acompleter 
  \end{enumerate}
  \end{savoirfaire}


%  \begin{savoirfaire}[Déduire le sens de variation d'une suite de celui d'une fonction]
%
%  Déterminer le sens de variation de la suite $\left( u_{n} \right)$ définie,
%	 pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=n^2+4n-5$.\\
%
%	  \acompleter \\
%
%	  \acompleter \\
%
%	  \acompleter \\
%
%	  \acompleter \\
%
%	  \acompleter 
%  \end{savoirfaire}

\section{Variations des suites arithmétiques et géométriques}

  \proprc{}{
  Soit $\left( u_{n} \right)$ une suite arithmétique de raison $r$.
  \begin{itemize}
	\item La suite $\left( u_{n} \right)$ est strictement croissante si et seulement si $r>0$.
	\item La suite $\left( u_{n} \right)$ est strictement décroissante si et seulement si $r<0$.
	\item La suite $\left( u_{n} \right)$ est constante si et seulement si $r=0$.
  \end{itemize}
  }

  \begin{demf}
	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter 
	\vspace{-0.2cm}
  \end{demf}


  \begin{exempleff}
	Soit $\left( u_{n} \right)$ telle que $u_{n}=-3n+5$. \acompleter \\

  \end{exempleff}

  \proprc{}{
  Soit $q$ un nombre réel non nul.
  \begin{itemize}
	\item Si $q>1$, alors la suite $\left( q^n \right)$ est strictement croissante.
	\item Si $0<q<1$, alors la suite $\left( q^n \right)$ est strictement décroissante.
	\item Si $q=1$, alors la suite $\left( q^n \right)$ est constante.
  \end{itemize}
  
  }

  \begin{center}
	\begin{minipage}[t]{0.4\textwidth}
	  	\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.5cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(8,10)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-1}{0}{8}{10}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-1}{-1}{8}{10}
	  \psplot[plotstyle=dots,linecolor=red,plotpoints=9]{0}{8}{1.3 x exp}
	  \MesAxesEtiquettes{$n$}{$q^n$}
	\end{pspicture}\\

	\acompleter \\

	\acompleter \\ 
	\end{minipage}
	\quad
	\begin{minipage}[t]{0.4\textwidth}
	  	\psset{xunit=0.7cm,yunit=4.6cm}
	\begin{pspicture}(-1, -0.1)(8,1.5)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=0.1]{-1}{0}{8}{1.1}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=0.1]{-1}{0}{8}{11}
	  \psplot[plotstyle=dots,linecolor=red,plotpoints=9]{0}{8}{0.8 x exp}
	  \MesAxesEtiquettes{$n$}{$q^{n}$}
	\end{pspicture}\\

	\acompleter \\

	\acompleter \\ 
	\end{minipage}
  \end{center}


  \begin{demf}
	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\ 
  \end{demf}


  \begin{remff}
	Pour déterminer le sens de variation d'une suite géométrique il faut prendre en compte le signe du
	premier terme.

	Soit $\left( u_{n} \right)$ la suite géométrique de premier terme $u_{0}=-1,2$ et de raison
	$q=1,3$. 

  \begin{center}
	\begin{minipage}[t]{0.4\textwidth}
	  	\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.5cm}
	\begin{pspicture}(-1,-8)(8,8)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=2]{-1}{-8}{8}{8}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-1}{-8}{8}{8}
	  \psplot[plotstyle=dots,linecolor=red,plotpoints=9]{0}{8}{1.3 x exp}
	  \MesAxesEtiquettes{$n$}{$q^{n}$}
	\end{pspicture}\\

	\acompleter \\

	\acompleter \\ 
	\end{minipage}
	\quad
	\begin{minipage}[t]{0.4\textwidth}
	  	\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.5cm}
	\begin{pspicture}(-1,-8)(8,8)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=2]{-1}{-8}{8}{8}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-1}{-8}{8}{8}
	  \psplot[plotstyle=dots,linecolor=red,plotpoints=9]{0}{7}{1.3 x exp -1.2 mul}
	  \MesAxesEtiquettes{$n$}{$u_{n}$}
	\end{pspicture}\\

	\acompleter \\

	\acompleter \\ 

	\acompleter \\ 
	\end{minipage}
  \end{center}
  \end{remff}

  \begin{exempleff}
	Soit $\left( u_{n} \right)$ la suite géométrique de premier terme $u_{0}=-2$ et de raison
	$q=0,3$. \acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\ 
  \end{exempleff}
 
  \begin{remff}
	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter  
  \end{remff}
  \newpage

\section{Approche de la notion de limite}

  S'intéresser à la limite d'une suite $\left( u_{n} \right)$, c'est étudier le comportement des
  termes $u_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
  
  \subsection{Exemples de suites ayant pour limite un nombre réel}

  \begin{itemize}
	\item  $u_{n}=2-\left( -0, 8 \right)^n$.\\

	  \begin{center}
		
	  	\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(12,4)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-1}{-1}{12}{4}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=0.5]{-1}{-1}{12}{8}
	  \MesAxesEtiquettes{$n$}{$u_{n}$}
	  \psplot[plotstyle=dots,linecolor=red,plotpoints=13]{0}{12}{-0.8 x exp -1 mul 2 add}
	\end{pspicture}
	  \end{center}

  \item $u_{n}=1+\dfrac{1}{n}$.\\

	  \begin{center}
		
	  	\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(12,4)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-1}{-1}{12}{4}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=0.5]{-1}{-1}{12}{8}
	  \psplot[plotstyle=dots,linecolor=red,plotpoints=12]{1}{12}{1 x div 1 add}
	  \MesAxesEtiquettes{$n$}{$u_{n}$}
	\end{pspicture}
	  \end{center}

  \end{itemize}
  \bigskip
  \bigskip
  \bigskip

  \begin{remff}
	Une suite $\left( u_{n} \right)$ a pour limite $\ell$ quand $n$ tend vers l'infini lorsque tout
	intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_{n}$ à partir d'un certain rang.
  \end{remff}

 % \newpage

  \subsection{Exemple de suite ayant pour limite {$\boldmath +\infty$}}

$u_{n}=n^2$.\\

	  \begin{center}
		
	  	\psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(5,25)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=10,Dy=100]{-1}{-1}{5}{25}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-1}{-1}{5}{25}
	  \psplot[plotstyle=dots,linecolor=red,plotpoints=11]{0}{5}{ x 2 exp}
	  \MesAxesEtiquettes{$n$}{$u_{n}$}
	\end{pspicture}
	  \end{center}





  \begin{remff}
	Une suite $\left( u_{n} \right)$ a pour limite $+\infty$ quand $n$ tend vers l'infini lorsque tout
	intervalle  de la forme $\Intoo{A}{+\infty}$, où $A\in\GR$,  contient tout les termes $u_{n}$ à partir d'un certain rang.
  \end{remff}



  \subsection{Exemple de suites n'ayant pas de limite}
  \bigskip
  \bigskip

	  \begin{center}
		
	  	\psset{xunit=1cm,yunit=0.3cm}
	\begin{pspicture}(-1,-1)(10,18)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=10,Dy=100]{-1}{-1}{10}{18}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-1}{-1}{10}{18}
	  \MesAxesEtiquettes{$n$}{$u_{n}$}
	\end{pspicture}
	  \end{center}




\input{exercices}
\end{document}
