\documentclass[a4paper,oneside]{book}
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\lhead{Seconde}
\chead{}\rhead{Repérage, Vecteurs }
\renewcommand{\headrulewidth}{1.6pt}
\setstretch{1.1}
\def\interlignespacing{1.1}
\setcounter{secnumdepth}{5}

\def\drapeau{1}
\def\deslignescor{0}


\begin{document}

\titre{\huge}{Repérage, Vecteurs}

\section{Repérage}
\subsection{Coordonnées dans le plan}

\defic{}{
Définir un repère du plan, c'est choisir $3$ points non alignés dans un ordre précis : $O$,
$I$ et $J$.

On note ce repère $\left( O, I, J \right)$, et :
\begin{itemize}
  \item le point $O$ est l'origine du repère ;
  \item la droite $\left( OI \right)$ est l'axe des abscisses et le point $I$ donne l'unité sur cet
	axe;
  \item  la droite $\left( OJ \right)$ est l'axe des ordonnées et le point $J$ donne l'unité sur cet
	axe.
\end{itemize}

}
\medskip
\begin{center}
  
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\scalebox{0.8}{
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-3}{-2}{3}{3}
  \uput{.2}[285](0,0){$0$}
  \psline(-3, 0)(3, 0)
  \psline(-2, -2)(3,3)
  \uput{.2}[270](1,0){$I$}
  \uput{.2}[90](1,0){$1$}
  \uput{.2}[135](2,2){$J$}
  \uput{.2}[290](2,2){$1$}
  \uput{.2}[0](-3,-3){repère quelconque}
  \psdot(1, 0)
  \psdot(2, 2)
  \psdot(0, 0)
\end{pspicture}}
\quad 
\scalebox{0.8}{
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-3}{-2}{3}{3}
  \uput{.2}[285](0,0){$0$}
  \psline(-3, 0)(3, 0)
  \psline(0, -2)(0,3)
  \uput{.2}[270](1,0){$I$}
  \uput{.2}[90](1,0){$1$}
  \uput{.2}[180](0,2){$J$}
  \uput{.2}[0](0,2){$1$}
  \uput{.2}[0](-3,-3){repère orthogonal}
  \psdot(1, 0)
  \psdot(0, 2)
  \psdot(0, 0)
\end{pspicture}}
\quad 
\scalebox{0.8}{
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-3}{-2}{3}{3}
  \uput{.2}[285](0,0){$0$}
  \psline(-3, 0)(3, 0)
  \psline(0, -2)(0,3)
  \uput{.2}[270](1,0){$I$}
  \uput{.2}[90](1,0){$1$}
  \uput{.2}[180](0,1){$J$}
  \uput{.2}[0](0,1){$1$}
  \uput{.2}[0](-3,-3){repère orthonormal}
  \psdot(1, 0)
  \psdot(0, 1)
  \psdot(0, 0)
\end{pspicture}
}
\end{center}
\bigskip

\begin{exempleff}
  \mbox{}

  \begin{center}
	\scalebox{0.85}{	
\begin{pspicture*}(-5,-3)(5,5)
  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-5}{-4}{5}{6}
  \uput{.2}[285](0,0){$0$}
  \psline(-5, 0)(5, 0)
  \psline(-4, -4)(5,5)
  \uput{.2}[270](1,0){$I$}
  \uput{.2}[90](1,0){$1$}
  \uput{.2}[135](2,2){$J$}
  \uput{.2}[290](2,2){$1$}
  \psdot(1, 0)
  \psdot(2, 2)
  \psdot(0, 0)
\end{pspicture*}}
  \end{center}

\end{exempleff}


\subsection{Calcul de distances dans un repère orthonormé}

\proprc{}{
On considère dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left( O, I, J \right)$ les points
$A\left(x_{A}\pv y_{A}\right)$ et $B\left( x_{B}\pv y_{B}\right)$.

La distance entre les points $A$ et $B$ est :
\[AB=\sqrt{\left( x_{B}-x_{A} \right)^2+\left( y_{B}-y_{A} \right)^2},\]
l'unité de longueur étant l'unité commune aux deux axes.

}

\begin{demf}
  \mbox{}

  On raisonne dans le cas où $x_A<x_B$ et $y_A<y_B$.\\

  \deslignes{10}\\
\end{demf}

\begin{exempleff}
  Si on a $A\left( 2\pv -1 \right)$ et $B\left( -4 \pv 7\right)$ dans un repère orthonormé, alors
  $AB=$ \acompleter \\

  \acompleter\\

  \acompleter

\end{exempleff}


\section{Vecteurs}


\subsection{Translation de vecteur  $\protect\vecteur{AB}$}

\defic{}{
Soient $A$ et $B$ deux points du plan.

La translation, noté $t_{\vecteur{AB}},$ qui, au point $A,$ associe le point
$B=t_{\vecteur{AB}}\left( A \right)$ associe à tout point $M$ du plan l'unique point
$M'=t_{\vecteur{AB}}\left( M \right)$ tel
$ABM'M$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

}

\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
  1\up{er} cas : $M \notin \left( AB \right)$

  2\up{e} cas : $M \in \left( AB \right)$
  
\end{multicols}

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(18,6)
  \MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{36}{12}
\end{pspicture}

\medskip
\medskip
\medskip
\begin{remff}
  \begin{itemize}
	\item Dans le cas où $A$ et $B$ sont confondus, $t_{\vecteur{AB}}$ est appelée l'identité, \ie
	  l'application qui laisse invariant tout point du plan : $t_{\vecteur{AB}}\left( A
	  \right)=A,$ $t_{\vecteur{AB}}\left( M \right)=M$...
	\item Lorsque $A$ et $B$ ne sont pas confondus la translation $t_{\vecteur{AB}}$ est caractérisée par 
	  \begin{itemize}
		\item \acompleter \\
		\item \acompleter \\
		\item \acompleter 
	  \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{remff}

\defic{}{

  \`A toute translation on associe un objet mathématique appelé vecteur qui est noté à l'aide de
  deux ou d'une lettre surmontée d'une flèche. Par exemple :
  \begin{itemize}
	\item[- ] $t_{\vecteur{AB}}$ est appelée la translation de vecteur $\vecteur{AB},$
	\item[-]  $t_{\vec{u}}$  est appelée la translation de vecteur $\vec{u}.$
  \end{itemize}
  \begin{itemize}
	\item Si $t_{\vecteur{AB}}$ n'est pas l'identité, $\vecteur{AB}$ est caractérisé par 
\begin{itemize}
  \item une direction (la droite $\left( AB \right)$);
  \item un sens (celui de $A$ vers $B$);
  \item une longueur $AB$ (aussi appelée norme que l'on note $\norme{\vecteur{AB}}$).
\end{itemize}
  \item  Si $t_{\vecteur{AB}}$ est l'identité on lui associe le vecteur dit nul que l'on note
	$\vec{0}.$ $\vec{0}$ n'a pas de direction, ni de sens, sa norme est égale à zéro :
	$\norme{\vec{0}}=0.$

  \end{itemize}
}

\begin{exempleff}
\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(18,3)
  \MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{36}{6}
\end{pspicture}
\end{exempleff}

\subsection{\'Egalité de deux vecteurs}


\defic{Vecteurs égaux}{
  \begin{itemize}
	\item 
  Si $t_{\vecteur{AB}}=t_{\vecteur{CD}}$ alors
  $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{CD}$ sont deux représentants d'un même vecteur. 

\item Notation : $\vecteur{AB} =\vecteur{CD}.$

\item Si de plus $\vecteur{AB}\ne \vec{0},$ $\vecteur{AB}=\vecteur{CD}$ signifie que ces vecteurs ont
  même direction,  même sens, même norme.

\item D'une manière général, deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux lorsqu'ils ont  même direction,  même sens, même norme.
  \end{itemize}

}

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(0,0)(18,3.5)
  \MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{36}{8}
\end{pspicture*}
\medskip

\proprc{}{
  $ABDC$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\vecteur{AB}=\vecteur{CD}.$
}
\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(0,0)(18,3.5)
  \MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{36}{8}
\end{pspicture*}
\medskip


\subsection{Somme de deux vecteurs}

\defic{Composée de deux translations}{
  On appelle composée de la translations $t_{\vec{u}}$ par $t_{\vec{v}}$ l'application noté
  $t_{\vec{v}}\circ t_{\vec{u}}$ qui à tout point $M$ du plan associe le point
  $M''=t_{\vec{v}}\big( t_{\vec{u}}\left( M \right)\big). $
  \[M \stackrel{t_{\vec{u}} }{\mapsto} M' \stackrel{t_{\vec{v}} }{\mapsto} M'' \]
  On admet que la composée de deux translations est une translation.
}
\medskip

%\propoc{somme de vecteurs}{
  Soit $t_{\vec{u}}$ et $t_{\vec{v}}$ deux translations auxquelles sont associés les vecteurs
  $\vec{u}$ et $\vec{v}.$ D'après ce qui précède $t_{\vec{v}}\circ t_{\vec{u}} $ est une translation
  à laquelle on peut associer un vecteur $\vec{w}$: $t_{\vec{w}}= t_{\vec{v}}\circ t_{\vec{u}}$
\medskip
\medskip

  \defic{Somme de vecteurs}{
  La somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est égale au vecteur associé à la translation
  $t_{\vec{v}}\circ t_{\vec{u}}. $

  Si $t_{\vec{w}}= t_{\vec{v}}\circ t_{\vec{u}}$ alors $ \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}.$
}
\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(0,0)(18,4)
  \MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{36}{10}
\end{pspicture*}
\medskip

\begin{exempleff}
  \begin{enumerate}
	\item $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs, construisons un représentant du vecteur
	  $\vec{w}$ tel que $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}.$
	\item $ABC$ est un triangle, construisons le point $M$ tel que
	  $\vecteur{AM}=\vecteur{AB}+\vecteur{AC}.$
  \end{enumerate}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(18,4)
  \MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{36}{8}
\end{pspicture}
\end{exempleff}

\subsection{Commutativité de la somme }

\propoc{commutativité de la somme }{
On admet que $$t_{\vec{v}}\circ t_{\vec{u}}= t_{\vec{u}}\circ t_{\vec{v}}. $$
On a :
\[ \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}.\]
}
\subsection{Vecteur opposé}
La composée d'une translation et de sa réciproque donne l'identité.\\

Par exemple : \deslignes{2} \\


\defic{vecteur opposé}{
  \begin{itemize}
	\item Si $t_{\vec{v}}\circ t_{\vec{u}}=t_{\vec{0}} $ alors $\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}.$
	  $\vec{v}$ est le vecteur opposé à $\vec{u}.$
	\item On note $\vec{v}=-\vec{u}.$ $\vec{u}+\left( -\vec{u} \right)=\vec{0}.$
  \end{itemize}
}
\begin{remff}
  Si $\vec{u}\ne\vec{0},$ $-\vec{u}$ possède la même direction et la même norme que $\vec{u}$ mais
  un sens contraire à celui de $\vec{u}.$\\
  \deslignes{2}
\end{remff}

\subsection{Différence de deux vecteurs} 

On considère la composée $t_{\vect{u}}\circ t_{-\vect{v}}=t_{\vect{w}}.$ On note \acompleter 
\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(18,3)
  \MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{36}{6}
\end{pspicture}


\subsection{Relation de Chasles}

Soient $A$ et $B$ deux  points du plan.\\

Pour tout point $M$, \acompleter  
\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(18,4)
  \MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{36}{8}
\end{pspicture}
\bigskip

\begin{exempleff}
  \deslignes{2}
\end{exempleff}

\section{Vecteurs colinéaires}

\subsection{Multiplication d'un vecteur par un nombre}

\defic{}{
\begin{minipage}[t]{0.67\linewidth}
  Soit $\vec{u}$ un vecteur et $k$ un réel, $k\vec{u}$ désigne un vecteur et
  \begin{itemize}
	\item Si $k=0$ ou si $\vec{u}=\vec{0}$ alors $k\vec{u}=\vec{0}$~;
	\item Si $k\ne0$ et si $\vec{u}\ne\vec{0}$ alors $k\vec{u}$ a pour
	  caractéristiques :
	  \begin{itemize}
		\item la même direction que $\vec{u}$ ;
		\item \begin{itemize}
			\item[-] le même sens que  $\vec{u}$ lorsque $k>0$ ;
			\item[-] le  sens contraire de  $\vec{u}$ lorsque $k<0$ ;
		  \end{itemize}
		\item $||k\vec{u}||=\abs{k}\times||\vec{u}||. $ 
	  \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{minipage}
\raisebox{-1cm}{
  \begin{minipage}[t]{0.2\linewidth}
  \mbox{}\\
  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(3,3)
	\psline{->}(1, 1)(2.5, 2.5)
	\psline{->}(0, 1)(3, 4)
	\psline{<-}(1, 0)(1.75, 0.75)
	\uput{.1}[135](1.5,1.5){$\vec{u}$}
	\uput{.1}[135](1.5,2.5){$2\vec{u}$}
	\uput{.1}[135](1.5,.2){$-\frac{1}{2}\vec{u}$}
  \end{pspicture}
\end{minipage}}
}

\begin{exempleff}
  \begin{enumerate}
	\item \mbox{}\\ 

	  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
	  \begin{pspicture}(0, -1)(17, 1)
		%\MesAxes[.6pt,Dx=,Dy=<++>]{<++>}{<++>}{<++>}{<++>}
		%                                  xBG   yBG    xHD  yHD
		\MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{0}{-1}{17}{1}
		\psline[linewidth=0.8pt](0, 0)(17, 0)
		\uput{.2}[225](8,0){$A$}
		\uput{.2}[225](11,0){$B$}
		\uput{.2}[225](14,0){$C$}
		\psdot(8,0)
		\psdot(11,0)
		\psdot(14,0)
	  \end{pspicture}
	  \begin{enumerate}
		\item Compléter : $\vecteur{AC}=\ldots \vecteur{AB}$ et $\vecteur{BA}=\ldots
		  \vecteur{AC}$.
		\item Placer les points $D$ et $E$ tels que : $\vecteur{AD}=-2 \vecteur{AB}$ et
		  $\vecteur{AE}=\dfrac{5}{3}\vecteur{BA}$.
	  \end{enumerate}
	  \medskip

	\item

	  \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
		Placer les points $D$, $E$ et $F$ tels que :
		\begin{itemize}
		  \item $\vecteur{AD}= \vec{\imath}+2\vec{\jmath}$;
		  \item $\vecteur{BE}=2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}$;
		  \item $\vecteur{CF}=-\dfrac{3}{2}\vec{\imath}+2\vec{\jmath}$.
		\end{itemize}
	  \end{minipage}
      \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
		\mbox{}\\	
		\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
		\begin{pspicture}(0,0)(11,10)
		  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
		  \MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{0}{0}{11}{10}
		  \uput{.2}[45](1 ,4){$A$}
		  \uput{.2}[45](3 ,8){$B$}
		  \uput{.2}[45](6 ,2){$C$}
		  \psline{->}(6, 4)( 8,5)
		  \uput{.2}[270](7 ,4.5){$\vec{\imath}$}
		  \psline{->}(6, 4)( 5,5)
		  \uput{.2}[250](5.5 ,4.5){$\vec{\jmath}$}
		  \psdot(1, 4)
		  \psdot(3, 8)
		  \psdot(6, 2)
		\end{pspicture}
	  \end{minipage}

  \end{enumerate}
\end{exempleff}


\subsection{\large Règles de calcul }
\medskip

\proprc{}{

Pour tous réels $k$ et $k'$ et pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{3}
  $k\left( \vec{u}+\vec{v} \right)= k\vec{u} +k \vec{v}$

  $k\left( k' \vec{u} \right)= \left(k k'\right) \vec{u}$

  $\left( k+k' \right)\vec{u}= k\vec{u} +k'\vec{u}$


  
\end{multicols}

}

\begin{exempleff}
  \mbox{}
  Exprimer le plus simplement possible, en fonction des vecteurs $\vecteur{AB}$ et
  $\vecteur{AC}$, les vecteurs suivants :
  \begin{itemize}
	\item $\vec{u}=2\vecteur{AB}-3\vecteur{BC}$\\

	  \acompleter \\
	\item $\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left( \vecteur{BC}-2\left( \vecteur{CA}+\vecteur{BA} \right) \right)$\\

	  \deslignes{2}


  \end{itemize}
\end{exempleff}



\subsection{Vecteurs colinéaires}
\medskip

\defic{}{
  Deux vecteurs  $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires lorsque l'un est le produit de l'autre par
  un réel, \textit{i.e.} il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$ ou $\vec{u}=k\vec{v}.$
}

\begin{remff}
  \mbox{}
  \begin{itemize}
    \item deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.
    \item D'après la définition, le vecteur nul est colinéaires à tous les vecteurs.
  \end{itemize}
\end{remff}


\begin{exempleff}
  $\vec{u}=3\vecteur{AB}-4\vecteur{AC}$ et $\vec{v}=\dfrac{3}{2}\vecteur{AB}+2\vecteur{CA}$.
  $\vec{u} $ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ?\\
  \deslignes{3}
\end{exempleff}

\theoc{}{
\begin{itemize}
  \item Les  points $A$, $B$ et $C$ sont alignés équivaut à $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{AC}$ sont colinéaires.
  \item  Les droites $\left( AB \right) $ et $\left( CD \right)$ sont parallèles équivaut à
	$\vecteur{AB}$ et $\vecteur{CD}$ sont colinéaires.

\end{itemize}

}
\medskip

\begin{exempleff}
  \begin{enumerate}
	\item $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G $ et $H $ sont des points du plan tels que :

	  $\vecteur{AE}=\dfrac{1}{3}\vecteur{AB}$, $\vecteur{AF}=\dfrac{1}{3}\vecteur{AD}$,
	  $\vecteur{CH}=-\vecteur{CB}$ et $\vecteur{CG}=-\vecteur{CD}$

	  Exprimer $\vecteur{EF}$ et $\vecteur{GH}$ en fonction de $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{AD}$ puis
	  en déduire  que les droites $\left( EF \right)$ et $\left( GH \right)$ sont parallèles.\\

	  \deslignes{5}\\

	\item $ABC$ est un triangle, $I$ et $J$ sont deux points tels que :
	  $\vecteur{AI}=2\vecteur{AB}+\vecteur{AC}$ et $3\vecteur{CJ}=2\vecteur{CB}$.

	  Montrer que $\vecteur{AJ}=\dfrac{2}{3}\vecteur{AB}+\dfrac{1}{3}\vecteur{AC}$. Que peut-on en
	  déduire ?\\

	  \deslignes{6}

  \end{enumerate}
\end{exempleff}

\section{Coordonnées d'un vecteur dans un repère }

\subsection{Repère du plan défini à l'aide de vecteurs}

\defic{}{
  Un \textbf{repère} $\oij$ du plan est formé d'un point $O$, appelé \textbf{origine} du repère, et
  de deux vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ non colinéaires.
  
\begin{itemize}
  \item Lorsque les directions des vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ sont \textbf{perpendiculaires}, on dit que le repère $\oij$ est \textbf{orthogonal}.
  \item Lorsque, de plus, les normes des vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ sont égales, on dit que le repère $\oij$ est \textbf{orthonormé}.
\end{itemize}
}


\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{3}
  \fbox{
  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(0, 0)(5,5)
	%\MaGrille[5,xunit=<++>,yunit=<++>]{<++>}{<++>}{<++>}{<++>}
  \end{pspicture}
  }
  \centerline{repère quelconque}

  \fbox{
  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(0, 0)(5,5)
	%\MaGrille[5,xunit=<++>,yunit=<++>]{<++>}{<++>}{<++>}{<++>}
  \end{pspicture}
  }
  \centerline{repère orthogonal}


 \fbox{
  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(0, 0)(5,5)
	%\MaGrille[5,xunit=<++>,yunit=<++>]{<++>}{<++>}{<++>}{<++>}
  \end{pspicture}
  }
  \centerline{repère orthonormé}


\end{multicols}

\subsection{Coordonnées d'un vecteur \boldmath $\vec{u}$}

\medskip

%\begin{tabular}{c c c}
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{center}

  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(9,8)
	\psline[linewidth=1pt]{->}(1, 1)(3,1)
	\psline[linewidth=1pt]{->}(1, 1)(0,3)
	\psline[linewidth=1pt]{->}(1, 7)(8,3)
	%                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	\MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{18}{16}
	\uput{.2}[225](1,1){$O$}
	\uput{.2}[270](2,1){$\vec{\imath}$}
	\uput{.2}[45](0.5,2){$\vec{\jmath}$}
	\uput{.3}[45](4,5){$\vec{u}$}
  \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
Soient $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ deux vecteurs \textbf{non colinéaires} du plan. Tout vecteur $\vec{u}$ du plan peut s'exprimer comme combinaison des vecteurs $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$, et ceci de manière unique.\\
 \\

Par exemple, ici, on a $\vec{u}=\makebox[1cm]{\acompleter} \vec{\imath}+\makebox[1cm]{\acompleter} \vec{\jmath}$
\end{minipage}
\\
%\end{tabular}\ \\


\medskip

\theoc{et définition}{
  Dans un repère $\oij$ tout vecteur $\vec{u}$ du plan se décompose de manière unique sous la forme $\vec{u}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}$ où $(x;y)$ est un couple de nombres réels.\\
On dira que le vecteur $\vec{u}$ a pour \textbf{coordonnées} $x$ et $y$ dans le repère $\oij$. On notera $\vec{u}\coordp{x}{y}$
}

\begin{exempleff}

  Si $\oij$ est un repère du plan, alors:
\begin{itemize}
  \item $\vec{u}=5\vec{\imath}-\vec{\jmath}\Longleftrightarrow \vec{u}\coordp{\makebox[1cm]{\acompleter}}{\makebox[1cm]{\acompleter}}$
\item $\vec{v}\coordp{-2}{3}\Longleftrightarrow\vec{v}=\makebox[1cm]{\acompleter}\vec{\imath}+\makebox[1cm]{\acompleter}\vec{\jmath}$
\item $\vec{\imath}\coordp{\makebox[1cm]{\acompleter}}{\makebox[1cm]{\acompleter}}$, \quad $\vec{\jmath}\coordp{\makebox[1cm]{\acompleter}}{\makebox[1cm]{\acompleter}}$, \quad $\vec{0}\coordp{\makebox[1cm]{\acompleter}}{\makebox[1cm]{\acompleter}}$
\end{itemize}
\end{exempleff}


Dans tout ce qui suit, le plan est muni d'un  repère $\oij$.
\medskip



\proprc{}{ 
Soit $\vec{u}\coo{x}{y}$ et $\vec{v}\coo{x'}{y'}$
  \begin{itemize}
    \item 
	$\vec{u}=\vec{v}$ \ssi $x=x'$ et $y=y'$.\\
    \item Si $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$ alors $\vec{w}\coo{x+x'}{y+y'}$.
	
\item Soit  $k$ un nombre réel.\\
Si  $\vec{w}=k\vec{u}$ a pour coordonnées $\vec{w}\coordp{kx}{ky}$.
  \end{itemize}
}

\begin{exempleff}
   Si $\vec{u}\coordp{1}{-3}$ et $\vec{v}\coordp{5}{3}$ alors:
  \begin{itemize}
    \item $-\vec{u}\coordp{\makebox[1cm]{\acompleter}}{\makebox[1cm]{\acompleter}}$, \quad $5\vec{v}\coordp{\makebox[1cm]{\acompleter}}{\makebox[1cm]{\acompleter}}$
     \item $\vec{u}+\vec{v}\coordp{\makebox[1cm]{\acompleter}}{\makebox[1cm]{\acompleter}}$, \quad $-\vec{u}+5\vec{v}\coordp{\makebox[1cm]{\acompleter}}{\makebox[1cm]{\acompleter}}$ 
  \end{itemize}
\end{exempleff}

\theoc{et définition}{
  Dire que le point $M$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans le repère $\oij$ équivaut à dire que le
  vecteur $\vecteur{OM}$ a pour coordonnées $\coordp{x}{y}$ dans ce repère\\
Autrement dit, $M$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans $\oij$ \ssi

$\vecteur{OM}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}$
\begin{itemize}
  \item $x$ est l'\textbf{abscisse} du point $M$ dans le repère $\oij$~;
  \item $y$ est l'\textbf{ordonnée} du point $M$ dans le repère $\oij$.
\end{itemize}
  
}

%$\overrightarrow{AB}$

%\subsection{Coordonnées du vecteur $\vecteur{AB}$}
\subsection{Coordonnées du vecteur  {\boldmath $\protect\vecteur{AB}$}}


\proprc{coordonnées d'un vecteur}{
Si $A$ a pour coordonnées $(x_A;y_A)$, et si $B$ a pour coordonnées $(x_B;y_B)$,\\ alors le vecteur $\vecteur{AB}$ a pour coordonnées 
\begin{center}
$\vecteur{AB}\coordp{x_B-x_A}{y_B-y_A}$
\end{center}}

\begin{demf}
  $A(x_A;y_A)$ dans $\oij$ \ssi $\vecteur{OA}=x_A\vec{\imath}+y_A\vec{\jmath}$, \quad
$B(x_B;y_B)$ dans $\oij$ \ssi $\vecteur{OB}=x_B\vec{\imath}+y_B\vec{\jmath}$\\
D'après la relation de Chasles on a
$\begin{array}[t]{rcl} \vecteur{AB}
&=&\vecteur{AO}+\vecteur{OB}\\
&=&-\vecteur{OA}+\vecteur{OB}\\
&=&-(x_A\vec{\imath}+y_A\vec{\jmath})+(x_B\vec{\imath}+y_B\vec{\jmath})\\
&=& -x_A\vec{\imath}-y_A\vec{\jmath}+x_B\vec{\imath}+y_B\vec{\jmath}\\
\vecteur{AB}&=& (x_B-x_A)\vec{\imath} + (y_B-y_A)\vec{\jmath}
\end{array}$\\
et donc, par définition, le vecteur $\vecteur{AB}$ a pour coordonnées $\coordp{x_B-x_A}{y_B-y_A}$.
\ \\

\end{demf}

\begin{exempleff}
    
Si dans un repère $\oij$ du plan on a $A(5;-3)$, $B(-1;6)$ et $C(7;2)$ alors on peut calculer les coordonnées de\\
$\vecteur{AB}\coordp{\makebox[1cm]{\acompleter}}{\makebox[1cm]{\acompleter}}$ \qquad $\vecteur{AC}\coordp{\makebox[1cm]{\acompleter}}{\makebox[1cm]{\acompleter}}$ \qquad
$-3\vecteur{AB}\coordp{\makebox[1cm]{\acompleter}}{\makebox[1cm]{\acompleter}}$ \qquad $2\vecteur{AC}\coordp{\makebox[1cm]{\acompleter}}{\makebox[1cm]{\acompleter}}$ \qquad
$\vecteur{AB}+\vecteur{AC}\coordp{\makebox[1cm]{\acompleter}}{\makebox[1cm]{\acompleter}}$ \qquad $-3\vecteur{AB}+2\vecteur{AC}\coordp{\makebox[1cm]{\acompleter}}{\makebox[1cm]{\acompleter}}$
\end{exempleff}


\proprc{milieu d'un segment}{
  \medskip
  Si $A$ a pour coordonnées $(x_A;y_A)$, et si $B$ a pour coordonnées $(x_B;y_B)$,\\ alors le point $I$ milieu du segment $[AB]$ a pour coordonnées \begin{center}
$I\left(\cfrac{x_A+x_B}{2};\cfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
\end{center}
}

\begin{demf}
  $I$ milieu de $[AB]$ \ssi $\vecteur{AI}=\dfrac{1}{2}\vecteur{AB}$. Notons $(x_I;y_I)$ les coordonnées du point $I$. Alors:\\
les coordonnées du vecteur $\vecteur{AI}$ sont
$\coordp{\makebox[3cm]{\acompleter}}{\makebox[0cm]{\phantom{$a^{b\strut}$}}\makebox[3cm]{\acompleter}}$,\\ 

les coordonnées du vecteur $\dfrac{1}{2}\vecteur{AB}$ sont
$\coordp{\makebox[3cm]{\acompleter}}{\makebox[0cm]{\phantom{$a^{b\strut}$}}\makebox[3cm]{\acompleter}}$.\\

Ainsi, l'égalité vectorielle $\vecteur{AI}=\dfrac{1}{2}\vecteur{AB}$ équivaut à 
$\left\{\begin{array}{c c c}
  \makebox[3cm]{\acompleter} &=& \makebox[3cm]{\acompleter}\\[0.5cm]
\makebox[3cm]{\acompleter} &=& \makebox[3cm]{\acompleter}\\
\end{array}\right.$\\
qui donne bien $\left\{\begin{array}{c c c}
x_I &=& \dfrac{x_A+x_B}{2}\\
y_I &=& \dfrac{y_A+y_B^{\strut}}{2}\\
\end{array}\right.$

\end{demf}

\subsection{retour sur la colinéarité de deux vecteurs}

On se place dans un repère $\oij$. Soient $\vec{u}\coordp{x}{y}$ et $\vec{v}\coordp{x'}{y'}$ deux
vecteurs. 
 \[\begin{array}{lcl}
   \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires}  & \ssif &  \text{ il existe } k\in \GR
   \text{ tel que } \vec{v}=k \vec{u} \text{ ou } \vec{u}=k \vec{v}\\
  & \ssif &   
  \left\{\begin{array}{l}
	x'=k x\\
	y'=k y
  \end{array}\right.
  \text{ ou }
\left\{\begin{array}{l}
	x=k x'\\
	y=k y'
  \end{array}\right.
  \\
  \end{array}
 \]
Cela signifie qu'on a une relation de proportionnalité entre les coordonnées :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\foreach \x/\xtext/\ytext in{0/x/x',1/y/y'}
{\draw (\x,0.5) +(-0.5,-0.25) rectangle ++(0.5,0.25) ;
\draw (\x,0) +(-0.5,-0.25) rectangle ++(0.5,0.25);
\node[]  at (\x,0.5) {$\xtext$};
\node[]  at (\x,0)   {$\ytext$};
\node[] (x_\x)  at (\x,0.75) {};
\node[] (y_\x) at (\x,-0.25) {};}
\draw[color=black,->,thick,>=stealth] (1.5,.65) to [distance=1.2cm,bend left=80] node
[right,midway]{
\pscirclebox[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=black]{\textcolor{black}{$\times k$}} } (1.5,-.15);
\end{tikzpicture}
\quad
ou
\quad
\begin{tikzpicture}
\foreach \x/\xtext/\ytext in{0/x'/x,1/y'/y}
{\draw (\x,0.5) +(-0.5,-0.25) rectangle ++(0.5,0.25) ;
\draw (\x,0) +(-0.5,-0.25) rectangle ++(0.5,0.25);
\node[]  at (\x,0.5) {$\xtext$};
\node[]  at (\x,0)   {$\ytext$};
\node[] (x_\x)  at (\x,0.75) {};
\node[] (y_\x) at (\x,-0.25) {};}
\draw[color=black,->,thick,>=stealth] (1.5,.65) to [distance=1.2cm,bend left=80] node
[right,midway]{
\pscirclebox[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=black]{\textcolor{black}{$\times k$}} } (1.5,-.15);
\end{tikzpicture}
\end{center}
et par conséquent $xy'-x'y=0$
\medskip

\defic{Déterminant}{
  On appelle déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le nombre $xy'-x'y.$

  Notation : $\det\left( \vec{u},\vec{v} \right)=  \begin{vmatrix}
    x & x'  \\
    y &  y' \\
  \end{vmatrix}=xy'-x'y
$
}

\theoc{Condition nécessaire et suffisante de colinéarité}{
  $\vec{u}\coordp{x}{y}$ et $\vec{v}\coordp{x'}{y'}$ sont colinéaires équivaut à
  $\det(\vec{u},\vec{v})=xy'-x'y=0$.

}


\begin{exempleff}
  Comment faut-il choisir le réel $\lambda$ pour que les vecteurs $\vec{u}\coordp{4}{3\lambda}$ et
  $\vec{v}\coordp{-5}{\lambda^2}$ soient colinéaires ?\\

\acompleter\\

\acompleter\\

\acompleter\\

\acompleter\\

\acompleter\\

\acompleter\\

\acompleter\\

\acompleter

\end{exempleff}


\section{Exercices}

\input{insert-exercices}
\end{document}


























