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\lhead{Seconde}
\chead{}\rhead{Généralités sur les fonctions }
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\def\drapeau{1}
\def\deslignescor{0}



\begin{document}

\titre{ Généralités sur les fonctions }{}


%acti d'introduction
%\begin{activitef}
 % Activité 1 p 60 en classe.\\
 % Activité 3 p 61 à la maison.
%\end{activitef}



\section{Notion de fonction}

\subsection{Définition}

\defic{}{ 
  \begin{itemize}
    \item Soit $\mathcal{D}$ une partie de $\GR$. On définit une fonction $f$ quand à chaque réel $x$ de $\mathcal{D}$ on associe un \textbf{unique} réel de $\GR$ que l'on note $f\left( x \right)$.
    \item Notation~:
      $f~: \begin{array}[t]{l}
	\mathcal{D} \to \GR\\
	x \mapsto f\left( x \right)
      \end{array}$
  \end{itemize}
}

\begin{remff}
  $f$ est une fonction, \textit{i.e.} une relation entre deux ensembles de nombres, alors que $f\left( x \right)$ est un nombre~!
\end{remff}


\defic{}{
  \begin{itemize}
    \item $\mathcal{D}$ est appelé l'ensemble de définition de $f$~;
    \item $f\left( x \right)$ est l'image (unique !) de $x$~;
    \item quand on écrit  $y=f\left( x \right)$, $x$ est un antécédent de $y$.  
  \end{itemize}
}

\begin{savoirfaire}[Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction]
  
  \begin{itemize}
	\item 
  On définit $f$ par $f\left( x \right)=\sqrt{2x-3}$, quel est l'ensemble de définition de $f$~?\\

  \deslignes{3}

\item On définit $f$ par $f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}}$, quel est l'ensemble de définition de $f$~?\\
  
  \deslignes{2}

  \end{itemize}

\end{savoirfaire}
 
\subsection{Représentation graphique}

\defic{}{
  \medskip
  Dans un repère, la courbe représentative de la fonction $f$ est l'ensemble des points $M\left( x \pv y \right)$ où~:
  \begin{itemize}
    \item l'abscisse $x$ décrit $\mathcal{D}$ l'ensemble de définition~;
    \item l'ordonnée $y$ est l'image de $x$ par $f$, i.e. $x\in \mathcal{D}$ et $y=f\left( x \right)$.
  \end{itemize}
  La courbe représentative de $f$ est donc l'ensemble de points $\left\{ M\left( x,y \right)
	\text{ tels que } y=f\left( x \right), \ x\in \mathcal{D} \right\}$ et $y=f\left( x
	\right)$ est l'équation de celle-ci.
}


\bigskip

      \begin{center}
	  
	   \psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
	   \begin{pspicture}(-7, -5)(7,5)
	       \MesAxes[.6pt,Dx=20,Dy=20]{-7}{-5}{7}{5}
	       %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	       \MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{-14}{-10}{14}{10}
	       \MesAxesEtiquettes{$x$}{$y$}
	       %\psplot[plotpoints=100]{}{<++>}{<++> }
	       \uput{.2}[225](0,0){$0$}
	   \end{pspicture}
       \end{center}

\begin{savoirfaire}[Déterminer graphiquement l'ensemble des antécédents d'un nombre.]
La fonction $f$ est représentée ci-dessous :
\begin{center}
 
  \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
  \begin{pspicture}(-3,-3)(8,5)
	\MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-3}{-3}{8}{5}
	%                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	\MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-3}{-3}{8}{5}
	\MesAxesEtiquettes{$x$}{$y$}
		%\psbcurve[showpoints](-2,-2)(-1,2)l(-0.5,2.8)r(0,2.8)(1,3)l(1.2,2.8)r(1.8,2.6)(2,2)(4,1)(6,2)(7,4)
		\psbcurve(-2,-2)(-1,2)l(-0.5,2.8)r(0,2.8)(1,3)l(1.2,2.8)r(1.8,2.6)(2,2)(4,1)(6,2)(7,4)

	\uput{.2}[225](0,0){$0$}
  \end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item Résoudre graphiquement l'équation $f\left( x \right)=2.$
  \item  Déterminer l'ensemble des antécédents de $2$ par $f.$
  \item  Déterminer l'ensemble des antécédents de $3$ par $f.$
  \item  résoudre $f\left( x \right)\geq 0.$ 
\end{enumerate}

\deslignes{3}
 
\end{savoirfaire}


\subsection{Parité d'une fonction}

\defic{Ensemble symétrique par rapport à $O$}{
  \medskip
  Un sous ensemble $D$ de $\GR$ est dit symétrique par rapport à $O$ lorsque pour tout $x\in D,$
  on a aussi $-x\in D.$
}

\begin{exempleff} 
  \deslignes{4}\\
\end{exempleff}

\defic{Fonction paire}{
  \medskip
Une fonction $f$ définie sur $D$ est paire lorsque :
\begin{itemize}
  \item $D$ est symétrique par rapport à $O$;
  \item pour tout $x\in D,$ $f\left( x \right)=f\left( -x \right).$
\end{itemize}
}

\proprc{}{
  \medskip
La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
}


\begin{demf}
  \deslignes{6}
\end{demf}

\begin{exempleff}
  \deslignes{3}\\
\end{exempleff}


\defic{Fonction impaire}{
  \medskip
Une fonction $f$ définie sur $D$ est impaire lorsque :
\begin{itemize}
  \item $D$ est symétrique par rapport à $O$;
  \item pour tout $x\in D,$ $f\left( - x \right)=-f\left( x \right).$
\end{itemize}
}

\proprc{}{
  \medskip
La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.
}



\begin{exempleff}
  \deslignes{13}
\end{exempleff}

\section{Variations}
\bigskip

\subsection{Croissance - décroissance}
\medskip
\bigskip

\defic{fonction  croissante}{
  \begin{itemize}
	\item 
$f$ est \textbf{strictement croissante} sur l'intervalle $I$ signifie que : 

\centerline{ pour tous réels $a$ et $b$ de $I,$  
si $a< b$ alors $f\left( a \right)< f\left( b \right).$}
\item 
  $f$ est \textbf{croissante} sur l'intervalle $I$ signifie que : 

\centerline{ pour tous réels $a$ et $b$ de $I,$  
si $a\leq b$ alors $f\left( a \right)\leq f\left( b \right).$}
  \end{itemize}
}
\medskip
\bigskip

    \begin{center}
	  
	   \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.6cm}
	   \begin{pspicture}(-7, -4)(7,4)
	       \MesAxes[.6pt,Dx=20,Dy=20]{-7}{-4}{7}{4}
	       %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	       \MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{-14}{-8}{14}{8}
	       \MesAxesEtiquettes{$x$}{$y$}
	       %\psplot[plotpoints=100]{}{<++>}{<++> }
	       \uput{.2}[225](0,0){$0$}
	   \end{pspicture}
       \end{center}
\bigskip





\begin{remff}
  $f\left( a \right)$ et $f\left( b \right)$ sont rangés dans le même ordre que $a$ et $b$. On dit que $f$ conserve l'ordre.
\end{remff}
\medskip
\bigskip
\bigskip

\defic{fonction  décroissante}{
  \begin{itemize}
	\item 
$f$ est\textbf{ strictement décroissante} sur l'intervalle $I$ signifie que : 

\centerline{ pour tous réels $a$ et $b$ de $I,$
si $a< b$ alors $f\left( a \right)> f\left( b \right).$}
\item 
$f$ est\textbf{  décroissante} sur l'intervalle $I$ signifie que : 

\centerline{ pour tous réels $a$ et  $b$ de $I,$
si $a\leq b$ alors $f\left( a \right) \geq f\left( b \right).$}
  \end{itemize}
}

     \begin{center}
	  
	   \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.6cm}
	   \begin{pspicture}(-7, -4)(7,4)
	       \MesAxes[.6pt,Dx=20,Dy=20]{-7}{-4}{7}{4}
	       %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	       \MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{-14}{-8}{14}{8}
	       \MesAxesEtiquettes{$x$}{$y$}
	       %\psplot[plotpoints=100]{}{<++>}{<++> }
	       \uput{.2}[225](0,0){$0$}
	   \end{pspicture}
       \end{center}



\begin{remff}
  $f\left( a \right)$ et $f\left( b \right)$ sont rangés dans l'ordre contraire de $a$ et $b$. On dit que $f$ change l'ordre.
\end{remff}
\medskip

\defic{fonction strictement monotone}{
  \medskip
Une fonction \textbf{ strictement monotone} sur un intervalle $I$ est une fonction qui est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur $I$. 
}


\subsection{Tableau de variation}


On résume le sens de variation d'une fonction à l'aide d'un \textbf{tableau de variations}.

\textbf{Exemple :}

\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
     \begin{center}
	  
	   \psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
	   \begin{pspicture}(-4, -4)(5,4)
		 \pscurve(-3,2)(-1, -2)(0.5, 2.5)(1, 3)(1.5, 2.5)(2, 1.5)(4, 1)
		 \psdot(-3, 2)
		 \psdot(-1, -2)
		 \psdot(1, 3)
		 \psdot(4, 1)
	       \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-4}{-4}{5}{4}
	       %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	       \MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{-8}{-8}{10}{8}
	       \MesAxesEtiquettes{$x$}{$y$}
	       %\psplot[plotpoints=100]{}{<++>}{<++> }
	       \uput{.2}[225](0,0){$0$}
          \uput{.15}[55](-2.5,0){$\Courbe[f]$}
	   \end{pspicture}
       \end{center}


	   \begin{center}
		
		 \scalebox{1.2}{
		 \begin{MonTableau}{2}{6}{1}
      %\TabShowLabelOn
        \TabTitreFerme
        \TabEfface{1}
        \TabFerme

        \TabNewCol{0}
        \rTabPut{B}{-.75}{.25}{$x$}
        \rTabPut{B}{-.75}{-.1}{\TabTitre{Var.}{f}}

        \TabNewCol{0}
        \rTabPut{B}{.15}{.25}{}
        %\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{$72,2$}
        \rTabPut{B}{.15}{0.5}{}



        \TabNewCol{0.25}
        \rTabPut{B}{.15}{.25}{}
        %\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{$72,2$}
        \rTabPut{B}{.15}{-0.6}{}


        \TabNewCol{0.5}
        \rTabPut{B}{.15}{.25}{}
        %\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{$72,2$}
        \rTabPut{B}{.15}{0.3}{}


        \TabNewCol{0.75}
        \rTabPut{B}{.15}{.25}{}
        %\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{$72,2$}
        \rTabPut{B}{.15}{-0.6}{}

        \TabNewCol{1}
        \rTabPut{B}{-.15}{.25}{}
        \rTabPut{B}{-.15}{0.5}{ }

     


	  \end{MonTableau}}

	   \end{center}

	 \end{multicols}


	 \newpage
\section{Extremum}
\bigskip

\defic{}{
  \medskip
  Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

  \begin{itemize}
    \item La fonction $f$ admet un maximum en $a$ sur l'intervalle $I$ lorsque~:

	  \centerline{pour tout $x$ de $I$, $f\left( x \right)\leq f\left( a \right) .$}

      $f\left( a \right)$ est le maximum de $f$ sur $I$.
    \item La fonction $f$ admet un minimum en $a$ sur l'intervalle $I$ lorsque~:

	  \centerline{pour tout $x$ de $I$, $f\left( x \right)\geq f\left( a \right) .$}

      $f\left( a \right)$ est le minimum de $f$ sur $I$.
      
  \end{itemize}
  
}


\begin{exempleff}
  \deslignes{12}
\end{exempleff}


\input{exercices}

\end{document}


