\documentclass[a4paper,oneside]{book}
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\lhead{Seconde}
\chead{}\rhead{Fonctions de références}
\renewcommand{\headrulewidth}{1.6pt}
\setstretch{1.1}
\def\interlignespacing{1.1}
\setcounter{secnumdepth}{5}

\begin{document}

\titre{ Fonctions de références}{}

%
\section{Fonctions affines}

\subsection{Définitions}

\defic{}{
On appelle fonction affine une fonction $f$ définie sur $\GR$ par une expression de la forme
$$f(x)=ax+b,$$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels fixés.

Cas particulier : lorsque $b=0$, la fonction $f$ définie par $f(x)=ax$ est dite linéaire.
}

\begin{itemize}
  \item $a$ s'appelle le coefficient directeur ;
  \item $b$ s'appelle l'ordonnée à l'origine.
\end{itemize}


\begin{exempleff}
  \begin{itemize}
	\item La fonction $g$ définie sur $\GR$ par $g(x)=-3x+5$ est affine ;
	\item  La fonction $h$ définie sur $\GR$ par $h(x)=8x$ est linéaire.
  \end{itemize}
\end{exempleff}

\subsection{Étude des variations}

\proprc{}{
Soit $f$ une fonction affine définie sur $\GR$ par $f(x)=ax+b$.
\begin{itemize}
  \item Si $a>0$, alors $f$ est strictement croissante sur $\GR$ ;
  \item si $a<0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $\GR$ ;
  \item si $a=0$ alors $f$ est constante sur $\GR$.
\end{itemize}
}

\begin{demf}
  Soit $f\colon x \mapsto ax+b$ et soient $c$ et $d$ deux réels tels que $c<d.$\\ 

  $f\left( d \right)-f\left( c \right) = $ \acompleter \\

  \acompleter\\
   

  Comme $c< d$ on a \makebox[5cm]{\acompleter} le signe de $a\left( d-c \right) $ ne dépend que de
  $a.$ \\

  \begin{itemize}
	\item Si $a>0 $ $f\left( d \right)-f\left( c \right) $\makebox[5cm]{\acompleter}\\

	  $c<d $ $\implies $ $f\left( c \right)<f\left( d \right),$ on en déduit que $ f$ est
	  \acompleter\\

	\item Si $a<0 $ $f\left( d \right)-f\left( c \right) $\makebox[5cm]{\acompleter}\\

	  $c<d $ $\implies $ $f\left( d \right)<f\left( c \right),$ on en déduit que $ f$ est
	  \acompleter\\	  
	  
	\item Si $a=0$ $f\left( d \right)-f\left( c \right) $\makebox[5cm]{\acompleter}\\

	  \acompleter \\
  \end{itemize}



\end{demf}

\begin{exempleff}
  \begin{itemize}
	\item La fonction  $f:x \mapsto 3x-6$ est \acompleter\\

	  \acompleter \\
	\item La fonction $f: x \mapsto -5x+4$ est \acompleter\\

	  \acompleter \\
	\item La fonction $f:x \mapsto 6$ est \acompleter  
  \end{itemize}
\end{exempleff}



\subsection{Représentation graphique}

\theoc{(admis)}{
Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction affine est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.

Réciproquement, toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées est la représentation graphique d'une fonction affine.

}


On considère la fonction $f$ définie sur $\GR$ par $f(x)=ax+b$.


{\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
 
  \centerline{{\boldmath$ a>0$}}
\medskip

\begin{center}
  \scalebox{0.8}{
  \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
  \begin{pspicture}(-5,-2)(5,6)
	\MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-5}{-2}{5}{6}
	%                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	\MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-5}{-2}{5}{6}
	\MesAxesEtiquettes{$x$}{$y$}
	\psplot[plotpoints=100]{-5}{5}{x 0.5 mul 2 add }
	\uput{.2}[225](0,0){$0$}
  \end{pspicture}}
\end{center}


\centerline{ {\boldmath$ a<0$}}
\medskip

\begin{center}
  \scalebox{0.8}{
  \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
  \begin{pspicture}(-5,-2)(5,6)
	\MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-5}{-2}{5}{6}
	%                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	\MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-5}{-2}{5}{6}
	\MesAxesEtiquettes{$x$}{$y$}
	\psplot[plotpoints=100]{-3}{5}{x -1 mul 3 add }
	\uput{.2}[225](0,0){$0$}
  \end{pspicture}}
\end{center}
\end{multicols}}

\subsection{Signe de \boldmath $ax+b$, $a\ne0$}

\theoc{}{
$ax+b$ est du signe de $a$ pour les valeurs de $x$ supérieures à la valeur $x_{0}$ qui annule
$ax+b$.
}

{\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
 
  \centerline{{\boldmath$ a>0$}}
\medskip

\begin{center}
  \scalebox{1.0}{

  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(-1,-2)(4,2)
	\MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1,labels=none]{-1}{-2}{4}{2}
	%                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	\psplot[plotpoints=100]{-1}{4}{ x 0.8 mul 1 sub }
	\uput{.2}[225](0,0){$0$}
  \end{pspicture}

  }
  \bigskip

\begin{MonTableau}{1}{5.5}{0.8}
        \TabTitreFerme
        \TabFerme
        \TabNewCol{0}
        \rTabPut{B}{-.75}{.25}{$x$}
        \rTabPut{B}{-.75}{.25}{$ax+b$}

        \TabNewCol{0}
        \rTabPut{Bl}{.15}{.25}{$-\infty$}

        \TabNewCol{.5}
		\rTabPut{B}{0}{.25}{$x_{0}$}
        \rTabPut[2]{B}{0}{.40}{\TabZ}



        \TabNewCol{1}
        \rTabPut{Br}{-.15}{.25}{$+\infty$}

        %1ere ligne     
       % \rput(.25,.5){$-$}
        %\rput(.75,.5){$+$}

    \end{MonTableau}
\end{center}


\centerline{ {\boldmath$ a<0$}}
\medskip

\begin{center}
  \scalebox{1.0}{

  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(-4,-2)(1.5,2)
	\MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1,labels=none]{-4}{-2}{1.5}{2}
	%                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	\psplot[plotpoints=100]{-3}{1.5}{-0.8 x mul 0.5 sub }
	\uput{.2}[125](0,0){$0$}
  \end{pspicture}
  }
  \bigskip

\begin{MonTableau}{1}{5.5}{0.8}
        \TabTitreFerme
        \TabFerme
        \TabNewCol{0}
        \rTabPut{B}{-.75}{.25}{$x$}
        \rTabPut{B}{-.75}{.25}{$ax+b$}

        \TabNewCol{0}
        \rTabPut{Bl}{.15}{.25}{$-\infty$}

        \TabNewCol{.5}
		\rTabPut{B}{0}{.25}{$x_{0}$}
        \rTabPut[2]{B}{0}{.40}{\TabZ}



        \TabNewCol{1}
        \rTabPut{Br}{-.15}{.25}{$+\infty$}

        %1ere ligne     
        %\rput(.25,.5){$+$}
        %\rput(.75,.5){$-$}

    \end{MonTableau}
\end{center}


\end{multicols}

}

\bigskip

\begin{exempleff}
  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\


  \acompleter\\  
\end{exempleff}


\begin{savoirfaire}[Trouver l'expression d'une fonction affine]
  Une fonction affine $f$ est telle que $f\left( -1 \right)=-3$ et $f\left( 2 \right)=5$. Déterminer
  l'expression de $f$.\\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\ 
  
\end{savoirfaire}


\begin{savoirfaire}[Déterminer le sens de variation d'une fonction affine]

  Donner le sens de variation de chacune des fonctions suivantes :

  \begin{enumerate}
	\item $f:x \mapsto \left( \pi-3,14 \right)x+1$ \acompleter \\

	  \acompleter \\
	\item $f:x \mapsto \left( \sqrt{2}-2 \right)x -3$ \acompleter \\

	  \acompleter 
  \end{enumerate}
  
\end{savoirfaire}

\section{Fonction carré}

\subsection{Définition et variations}

\defic{}{
La fonction carré est la fonction définie sur $\GR$ qui à tout réel $x$ associe son carré. En notant $f$ cette fonction, on a pour tout $x\in\GR$ :
\[f(x)=x^2.\]
}
\bigskip

\theoc{}{
La fonction carré est strictement décroissante sur $\Intof{-\infty}{0}$ et strictement croissante sur $\Intfo{0}{+\infty}$.
}

\begin{demf}
  Soit $f\colon x \mapsto x^2$ et soient $a$ et $b$ deux réels non-nuls tels que $a<b.$\\ 

  $f\left( b \right)-f\left( a \right) = $ \acompleter \\
   
  Comme $a< b$ on a \acompleter \\

  \begin{itemize}
	\item Si $a<b<0$ alors \makebox[5cm]{\acompleter } par conséquent $f\left( b \right)-f\left( a
	  \right) =$\acompleter   \\

	  $a<b $ $\implies $ $f\left( b \right)<f\left( a \right),$ on en déduit que $ f$ est
	  \acompleter\\
	\item Si $0<a<b$ alors \makebox[5cm]{\acompleter } par conséquent $f\left( b \right)-f\left( a
	  \right) =$\acompleter   \\

	  $a<b $ $\implies $ $f\left( a \right)<f\left( b \right),$ on en déduit que $ f$ est
	  \acompleter
  \end{itemize}
\end{demf}

\vspace{-1cm}

\textbf{Tableau de variation de la fonction carré}

\begin{center}
 \begin{MonTableau}{2}{9}{1}

          \TabTitreFerme
          \TabEfface{1}
          \TabFerme

        \TabNewCol{0}
          \rTabPut{B}{-.75}{.25}{$x$}
          \rTabPut{B}{-.75}{-.30}{\TabTitre{Var.}{f}}

        \TabNewCol{0}
          \rTabPut{Bl}{.15}{.25}{$-\infty$}
          \rTabPut{Bl}{.15}{0.6}{}

        \TabNewCol{.5}
          \rTabPut{B}{0}{.25}{$0$}
          \rTabPut{B}{0}{-.6}{}

        \TabNewCol{1}
          \rTabPut{Br}{-.15}{.25}{$+\infty$}
          \rTabPut{Br}{-.15}{0.6}{}
        \end{MonTableau}
 
\end{center}


\subsection{Représentation graphique de la fonction carré}

La courbe représentative de la fonction carré s'appelle une \textbf{parabole}.


\begin{center}
 
  \psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm}
  \begin{pspicture}(-4,-1)(4,6)
	\MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-4}{-1}{4}{6}
	%                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	\MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-4}{-1}{4}{6}
	\psplot[plotpoints=100]{-2.45}{2.45}{ x 2 exp }
	\uput{.2}[225](0,0){$0$}
  \end{pspicture}
\end{center}

\begin{remff}
	 La fonction carré est paire :
  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 
\end{remff}

\subsection{Exemple d'utilisation du sens de variation de la fonction carré}

\begin{itemize}
  \item Trouver un encadrement de $x^2$ lorsque $x\in\Intff{2}{5}$. \acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

  \item Trouver un encadrement de $x^2$ lorsque $x\in\Intff{-4}{-1}$. \acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

  \item 
Montrons que la fonction $f : x \mapsto -2(x-3)^2+1$ est décroissante sur $\Intfo{3}{+\infty}$.\\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter 
\end{itemize}

\section{Fonction inverse}

\subsection{Définition et variations}

\medskip

\defic{}{
  \medskip
  La fonction inverse est la fonction définie sur $\GR^{*}$ qui à tout réel $x$ non nul associe son
  inverse. En notant $f$ cette fonction, on a pour tout $x\in\GR^*$ :
  \[f(x)=\dfrac{1}{x}.\]
}

\medskip
\theoc{}{
  \medskip
La fonction inverse est strictement décroissante sur $\Intoo{-\infty}{0}$ et strictement décroissante sur $\Intoo{0}{+\infty}$.
}

\begin{demf}
  Soit $f\colon x \mapsto \dfrac{1}{x}$ et soient $a$ et $b$ deux réels non-nuls tels que $a<b.$\\ 

  $f\left( b \right)-f\left( a \right) = $ \acompleter \\
   
  Comme $a< b$ on a \acompleter \\

  \begin{itemize}
	\item Si $a<b<0$ alors \makebox[3cm]{\acompleter } par conséquent $f\left( b \right)-f\left( a
	  \right) =\makebox[6cm]{\acompleter }  $\\

	  $a<b $ $\implies $ $f\left( b \right)<f\left( a \right),$ on en déduit que $ f$ est
	  \acompleter\\
	\item Si $0<a<b$ alors \makebox[3cm]{\acompleter } par conséquent $f\left( b \right)-f\left( a
	  \right) =\makebox[6cm]{\acompleter }  $\\

	  $a<b $ $\implies $ $f\left( b \right)<f\left( a \right),$ on en déduit que $ f$ est
	  \acompleter
  \end{itemize}
  \vspace{-0.5cm}
\end{demf}


  \begin{remff}
  \acompleter \\
	
  \acompleter \\

  \acompleter 
  \end{remff}

  \newpage

\textbf{Tableau de variation de la fonction inverse}

\begin{center}
 \begin{MonTableau}{2}{9}{1}

          \TabTitreFerme
          \TabEfface{1}
          \TabFerme

        \TabNewCol{0}
          \rTabPut{B}{-.75}{.25}{$x$}
          \rTabPut{B}{-.75}{-.30}{\TabTitre{Var.}{f}}

        \TabNewCol{0}
          \rTabPut{Bl}{.15}{.25}{$-\infty$}
          \rTabPut{Bl}{.15}{0.6}{}

        \TabNewCol{.5}
		\rTabPut{B}{0}{.25}{$0$}
		\rTabPut[3]{B}{0}{-.6}{}
		\rTabPut[3]{B}{0}{-.6}{}


        \TabNewCol{1}
          \rTabPut{Br}{-.15}{.25}{$+\infty$}
          \rTabPut{Br}{-.15}{0.6}{}

        \end{MonTableau}
 
\end{center}


\subsection{Représentation graphique de la fonction inverse}

La courbe représentative de la fonction inverse s'appelle une \textbf{hyperbole}.

%Cette parabole a pour équation $y=x^2$.

\begin{center}
 
  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture*}(-4,-3)(4,3)
	\MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-4}{-3}{4}{3}
	%                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	\MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-4}{-3}{4}{3}
	\psplot[plotpoints=100]{-4}{-0.2}{1 x div }
	\psplot[plotpoints=100]{-0.2}{4}{ 1 x div }
	\uput{.2}[225](0,0){$0$}
  \end{pspicture*}
\end{center}

\begin{remff}

La fonction inverse est impaire : \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 


\end{remff}


\section{Fonction cube}

\subsection{Définition et variations}

\defic{}{
  La fonction cube est la fonction définie sur $\GR$ qui à tout réel $x$  associe son cube. En notant $f$ cette fonction, on a pour tout $x\in\GR$ :
  \[f(x)=x^3.\]
}
\bigskip

\theoc{}{
La fonction cube est strictement croissante sur $\GR.$
}
\bigskip

\begin{demf}
  Soit $f\colon x \mapsto x^3$ et soient $a$ et $b$ deux réels non-nuls tels que $a<b.$\\
  
  Comme $a<b,$ $b-a>0.$\\ 

   

  \begin{itemize}
	\item Si $a\leq 0 \leq b .$ \acompleter \\

	  \acompleter\\

	\item Si $a<b\leq 0$ ou  $0\leq a<b.$\\  

	    Montrons que $b^3-a^3=\left( b-a \right)\left( b^2+ab+a^2 \right).$ \\

  $\left( b-a \right)\left( b^2+ab+a^2 \right)=$ \acompleter\\


  Ainsi, $f\left( b \right)-f\left( a \right) = $ \acompleter \\



	  \acompleter\\
	  
	  
  \end{itemize}

	  $a<b $ $\implies $ $f\left( a \right)<f\left( b \right),$ on en déduit que $ f$ est
	  \acompleter\\

\end{demf}


\textbf{Tableau de variation de la fonction cube}

\begin{center}
 \begin{MonTableau}{2}{9}{1}

          \TabTitreFerme
          \TabEfface{1}
          \TabFerme

        \TabNewCol{0}
          \rTabPut{B}{-.75}{.25}{$x$}
          \rTabPut{B}{-.75}{-.30}{\TabTitre{Var.}{f}}

        \TabNewCol{0}
          \rTabPut{Bl}{.15}{.25}{$-\infty$}
          \rTabPut{Bl}{.15}{0.6}{}

        \TabNewCol{.5}
		\rTabPut{B}{0}{.25}{}
		\rTabPut{B}{0}{-.6}{}
		\rTabPut{B}{0}{-.6}{}


        \TabNewCol{1}
          \rTabPut{Br}{-.15}{.25}{$+\infty$}
          \rTabPut{Br}{-.15}{0.6}{}

        %\TabFleche{B1}{C1}
        %\TabFleche{C1}{D1}



        \end{MonTableau}
 
\end{center}


\subsection{Représentation graphique de la fonction cube}

\begin{center}
 
  \psset{xunit=1cm,yunit=0.25cm}
  \begin{pspicture*}(-4,-15)(4,15)
	\MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=5]{-4}{-15}{4}{15}
	%                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	\MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-4}{-15}{4}{15}
	\psplot[plotpoints=100]{-4}{4}{ x 3 exp}
	\uput{.2}[225](0,0){$0$}
  \end{pspicture*}
\end{center}

\begin{remff}
  La fonction cube est impaire : \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 
  
\end{remff}



\section{Fonction racine carrée}

\subsection{Définition et variations}

\defic{}{
  La fonction racine carrée est la fonction définie sur $\Intfo{0}{+\infty}$ qui à tout réel $x$ non
  nul associe sa
  racine carrée. En notant $f$ cette fonction, on a pour tout $x\in\Intfo{0}{+\infty}$ :
  \[f(x)=\sqrt{x}.\]
}
\bigskip

\theoc{}{
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $\GR.$
}

\begin{demf}
  Soit $f\colon x \mapsto \sqrt{x}$ et soient $a$ et $b$ deux réels positifs tels que $a<b.$\\ 

  $f\left( b \right)-f\left( a \right) = $ \acompleter \\

  \acompleter\\
   

  Comme $a< b$ on a \acompleter \\

  $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ \acompleter\\

  Par conséquent $f\left( b \right)-f\left( a \right)= \dfrac{b-a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ \acompleter\\


	  $a<b $ $\implies $ $f\left( a \right)<f\left( b \right),$ on en déduit que $ f$ est
	  \acompleter\\
\end{demf}


\textbf{Tableau de variation de la fonction racine carrée}

\begin{center}
 \begin{MonTableau}{2}{9}{1}

          \TabTitreFerme
          \TabEfface{1}
          \TabFerme

        \TabNewCol{0}
          \rTabPut{B}{-.75}{.25}{$x$}
          \rTabPut{B}{-.75}{-.30}{\TabTitre{Var.}{f}}

        \TabNewCol{0}
          \rTabPut{Bl}{.15}{.25}{$0$}
          \rTabPut{Bl}{.15}{0.6}{}

        \TabNewCol{.5}
		\rTabPut{B}{0}{.25}{}
		\rTabPut{B}{0}{-.6}{}
		\rTabPut{B}{0}{-.6}{}


        \TabNewCol{1}
          \rTabPut{Br}{-.15}{.25}{$+\infty$}
          \rTabPut{Br}{-.15}{0.6}{}

        %\TabFleche{B1}{C1}
        %\TabFleche{C1}{D1}



        \end{MonTableau}
 
\end{center}


\subsection{Représentation graphique de la fonction racine carrée}

\begin{center}
 
  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(-1,-1)(8,3)
	\MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-1}{-1}{8}{3}
	%                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	\MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-1}{-1}{8}{3}
	\psplot[plotpoints=100]{0}{8}{ x 0.5 exp}
	\uput{.2}[225](0,0){$0$}
  \end{pspicture}
\end{center}





\section{Comparaisons et positions relatives}

\proprc{}{
  \begin{itemize}
	\item Pour tout réel $x\in\Intff{0}{1},$ $x^3\leq x^2 \leq x.$
	\item Pour tout réel $x\geq 1,$ $x\leq x^2 \leq x^3. $
  \end{itemize}
  Interprétation géométrique :
  on note $\Calig{C}_{1},$ $\Calig{C}_{2}$ et $\Calig{C}_{3}$ les courbes d'équations respective
  $y=x,$ $y=x^2$ et $y=x^{3}.$
\begin{itemize}
  \item Sur $\Intff{0}{1},$ $\Calig{C}_{1}$ est au-dessus de $\Calig{C}_{2}$ qui est au-dessus de
	$\Calig{C}_{3}.$
  \item Sur $\Intfo{1}{+\infty},$ $\Calig{C}_{1}$ est en dessous de $\Calig{C}_{2}$ qui est en
	dessous de
	$\Calig{C}_{3}.$
\end{itemize}


}
\begin{center}
 
  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
	\MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-1}{-1}{4}{4}
	%                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	\MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{-1}{-1}{4}{4}
	\psplot[plotpoints=100]{0}{4}{ x }
	\psplot[plotpoints=100]{0}{2}{ x 2 exp}
	\psplot[plotpoints=100]{0}{1.59}{ x 3 exp}
	\uput{.2}[225](0,0){$0$}
  \end{pspicture}
\end{center}

\begin{demf}
  \deslignes{8} 
\end{demf}


\section{Exercices}

\input{exercices}

\end{document}


