\documentclass[a4paper,oneside]{book}
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\lhead{Seconde}
\chead{}\rhead{\'Equations de droites, systèmes }
\renewcommand{\headrulewidth}{1.6pt}
\setstretch{1.1}
\def\interlignespacing{1.1}
\setcounter{secnumdepth}{5}

\begin{document}

\titre{ \'Equations de droites, systèmes}{}

\section{Équations de droites}

  \subsection{Équation cartésienne d'une droite}

  \defic{}{
  Un vecteur \textbf{non nul} $\vec{u}$ est un vecteur directeur d'une droite $d$ signifie qu'il existe deux
  points distincts $A$ et $B$ de $d$ tel que $\vec{u}=\vecteur{AB}$.
  }
\medskip
\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{center}
  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(9,6)
	\MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{18}{12}
	\psline[linewidth=1pt]{-}(0, 1)(9,1)
	\psline[linewidth=1pt]{-}(4, 0)(4,6)
	\psline[linewidth=1pt]{-}(0, 5)(9,2)
	\psdot(1.5,4.5)
	\psdot(6,3)
	\uput{.2}[225](4,1){$O$}
	\uput{.2}[270](4.5,1){$\vec{\imath}$}
	\uput{.2}[45](4,1.5){$\vec{\jmath}$}
	\psline[linewidth=2pt]{->}(4, 1)(5,1)
	\psline[linewidth=2pt]{->}(4, 1)(4,2)
  \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
  %voir exemple indice p 190
  \begin{itemize}
	\item \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	\item \acompleter \\

	  \acompleter \\
  \end{itemize}
\end{minipage}
\medskip

	  \acompleter\\ 


  \proprc{}{La droite $d$ passant par un point $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est
  l'ensemble des points $M$ tels que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vecteur{AM}$ sont colinéaires.
  }

  \begin{demf}
	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\ 
  \end{demf}

  \begin{remff} \mbox{}
	\begin{itemize}
	  \item Une droite $d$ peut être définie par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}$. Dans ce cas $d$ est la droite $\left( AB \right)$ où $B$ est tel que $\vecteur{AB}=\vec{u}$.
	  \item $\vec{u}$ et $\vecteur{AM}$ colinéaires et $\vec{u}\ne\vec{0}$ implique qu'il existe
		$k\in\GR$ tel que $\vecteur{AM}=k\vec{u}$. Ainsi $d$ est l'ensemble des points $M$ tel que
		$\vecteur{AM}=k\vec{u}$, avec $k$ qui décrit $\GR$.
	\end{itemize}
  \end{remff}

  \proprc{}{
  \begin{itemize}
	\item Toute droite $d$ du plan muni d'un repère $\oij$ est l'ensemble des points de coordonnées
	  $\left( x \pv y \right)$ vérifiant une relation du type $ax+by+c=0 $ avec $\left( a\pv b \right)\ne
	  \left( 0\pv 0 \right)$.

	  La relation $ax+by+c=0$ est une \textbf{équation cartésienne } de $d$.
	  
	  %Toute droite $d$ du plan muni d'un repère $\oij$ admet un \textbf{équation cartésienne} de
	  %la forme $ax+by+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels fixés avec $\left( a\pv b \right)\ne
	  %\left( 0\pv 0 \right)$.
	\item Réciproquement (admis) : si  $\left( a\pv b \right)\ne
	  \left( 0\pv 0 \right)$ alors l'ensemble des points $M\left( x \pv y \right)$ tels que
	  $ax+by+c=0$ est une droite de vecteur directeur   $\vec{u}\left( -b\pv a \right)$.
  \end{itemize}
  
  }

  \begin{demf}\mbox{}

	  Soit $d$ une droite du plan, montrons que $d$ correspond à un ensemble de points de
		coordonnées $\left( x\pv y \right)$ vérifiant une relation du type $ax+by+c=0$.\\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter 

  \end{demf}
 
  \begin{remff}
	%\mbox{}\\
	% cas a,b=0,0
	\acompleter \\

	\acompleter \\


	\acompleter  
  \end{remff}

  \vspace{-0.5cm}

\begin{exempleff}

  \begin{itemize}
	\item 	 Déterminer un vecteur directeur :

  \begin{enumerate}
	\item de la droite des abscisses. \acompleter \\


	\item de la droite des ordonnées. \acompleter \\

	\item de la droite $d$ d'équation $2x-3y+6=0$. \acompleter 
  \end{enumerate}
	\item 
  Soit $d$ la droite passant par $A\left( 1 \pv 3 \right)$ et de vecteur directeur
  $\vect{u}\coordp{2}{5}.$ Déterminons une équation cartésienne de la droite $d.$

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter 
  \end{itemize}
\end{exempleff}

%\textbf{\`A retenir :} pour déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le
%point $A\left( x_{A}\pv y_{A} \right)$ et de vecteur directeur $\vect{u}\coordp{\alpha}{\beta},$ on
%écrit qu'un point $M\left( x\pv y \right)$ appartient à $d$ si, et seulement si, $\vecteur{AM}$ et
%$\vect{u}$ sont colinéaires, c'est à dire \mbox{$\det\left( \vecteur{AM}, \vect{u} \right)=0.$}


  \begin{savoirfaire}[Déterminer une équation cartésienne de droite]
	Dans le plan muni d'un repère $\oij,$ on considère les points $A\left( -4\pv 3 \right),$
	$B\left( 2\pv -1 \right),$ $C\left( 3\pv 2 \right)$ et un vecteur $\vect{u}\coordp{3}{1}.$
	\begin{enumerate}
	  \item Déterminer une équation cartésienne de la droite $\left( AB \right).$
	  \item Déterminer une équation cartésienne de la droite $d_{1} $ passant par $C$ et de vecteur
		directeur $\vect{u}.$
	  \item Déterminer une équation cartésienne de la droite $d_{2}$ passant par $C$ et parallèle à
		la droite $\left( AB \right).$
	\end{enumerate}

%	 On définit un point $A$ de coordonnées $\left( 1\pv -2 \right)$ et le vecteur $\vec{u}$ de
%  coordonnées $\left( -2 \pv 3 \right)$.
%
%  Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $A$ de vecteur directeur
%  $\vec{u}$.\\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\ 

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\ 

    \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter
  \end{savoirfaire}

\proprc{}{
Soient $d$ et $d'$ deux droites d'équations cartésiennes respectives $ax+by+c=0$ et $ a'x+b'y+c=0$
avec $\left( a\pv b \right)\ne\left( 0\pv 0 \right)$ et $\left( a'\pv b' \right)\ne\left( 0\pv 0
\right) .$

Les droites $d$ et $d'$ sont parallèles si, et seulement si, $ab'-a'b=0.$
}

\begin{demf}
  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 
\end{demf}

\begin{exempleff}
  Soient $d$ et $d'$ d'équations respectives $-3x+2y+1=0$ et $9x-6y-5=0.$ \\

  \acompleter\\

  \acompleter\\
\end{exempleff}


  \subsection{Équation réduite d'une droite}

  \proprc{(et définition)}{
  Toute droite $d$ du plan a pour \textbf{équation réduite} :
  \begin{itemize}
	\item $y=mx+p$ si la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées ;
	\item $x=k$ sinon.
  \end{itemize}
  $m$ s'appelle le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine.
  }

  \begin{demf}
	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter  
  \end{demf}

  \begin{remff}\mbox{}
	\begin{itemize}
	  \item 

	Une droite $d$ possède une unique équation réduite mais une infinité d'équations cartésiennes.\\

	Par exemple, \acompleter \\

	
	\acompleter \\

	\acompleter \\

\acompleter \\

\item 
	\acompleter \\

	\acompleter \\ 

	\acompleter 
	\end{itemize}
  \end{remff}

  \proprc{}{
	Soit $d$ une droite d'équation réduite $y=mx+p$ et $A\left( x_{A}\pv y_{A} \right)$ et
	$B\left( x_{B}\pv y_{B} \right)$ deux points distincts de $d.$ 

	Le coefficient directeur de la droite $d$ est le réel $m=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}.$
  }


	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\
	

	\begin{exempleff}
	  \medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
  \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(9,6)
	\MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{18}{12}
	\psline[linewidth=1pt]{-}(0, 1)(9,1)
	\psline[linewidth=1pt]{-}(4, 0)(4,6)
	\uput{.2}[225](4,1){$O$}
	\uput{.2}[270](4.5,1){$\vec{\imath}$}
	\uput{.2}[45](4,1.5){$\vec{\jmath}$}
	\psline[linewidth=2pt]{->}(4, 1)(5,1)
	\psline[linewidth=2pt]{->}(4, 1)(4,2)
  \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
  %voir exemple indice p 190
  Soit $d$ la droite passant par les points $A\left( -2\pv 1 \right) $ et $B\left( 2\pv 3 \right).$
  \begin{itemize}
	\item \acompleter \\

	  \acompleter \\
	\item \acompleter \\

	  \acompleter 
  \end{itemize}
\end{minipage}



	\end{exempleff}

	\begin{remff}
	  \begin{itemize}
		\item Une droite d'équation réduite $y=mx+p$ est la représentation graphique de la fonction
		  affine définie par $f\left( x \right)=mx+p.$
		\item Deux droites $d$ et $d'$ d'équations réduites respectives $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont
		  parallèles si, et seulement si, $m=m'.$
	  \end{itemize}
	\end{remff}

	\begin{savoirfaire}[Tracer une droite à partir d'une équation]

	  Le plan est muni d'un repère $\oij.$
	  \begin{enumerate}
		\item Construire la droite $d_{1}$ d'équation cartésienne $5x+4y-6=0.$
		\item Construire la droite $d_{2}$ d'équation réduite $y=\dfrac{1}{2}x-1.$
		\item On considère deux points $E\left( -24 \pv -5 \right)$ et $F\left( 51 \pv 20 \right).$
		  \begin{enumerate}
			\item Déterminer l'équation réduite de la droite $\left( EF \right).$
			\item Construire la droite $\left( EF \right)$ en utilisant son ordonnée à l'origine et
			  son coefficient directeur.
		  \end{enumerate}

	  \end{enumerate}
	
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{center}
  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(9,6)
	\MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{18}{12}
	\psline[linewidth=1pt]{-}(0, 1)(9,1)
	\psline[linewidth=1pt]{-}(4, 0)(4,6)
	%\psline[linewidth=1pt]{-}(0, 5)(9,2)
	\uput{.2}[225](4,1){$O$}
	\uput{.2}[270](4.5,1){$\vec{\imath}$}
	\uput{.2}[45](4,1.5){$\vec{\jmath}$}
	\psline[linewidth=2pt]{->}(4, 1)(5,1)
	\psline[linewidth=2pt]{->}(4, 1)(4,2)
  \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
  %voir exemple indice p 190
	 \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

\end{minipage}
\medskip

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\


	  \acompleter 
\end{savoirfaire}

\vspace{-0.5cm}

\section{Systèmes de deux équations à deux inconnues}

\subsection{Définitions}

\defic{}{
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ est un système qui peut s'écrire
sous la forme 
\[
  \begin{systeme}{2}
	ax+by &=& c \\
	a'x+b'y &=& c'
	
  \end{systeme}
\]
où $a,$ $b,$ $c,$ $a',$ $b'$ et $c'$ sont des réels fixés tels que $\left( a \pv b \right)\ne \left(
0\pv 0 \right)$ et $\left( a'\pv b' \right)\ne \left( 0 \pv 0 \right).$

Une solution de ce système est un couple $\left( x\pv y \right)$ de nombres réels tel que $x$ et
$y$ vérifient simultanément ces deux équations.
}

\begin{exempleff}
  Soit le système
  $ 
  \begin{systeme}{2}
	x+5y &=& 19\\
	-2x+y &=& -5
  \end{systeme}
  $\\

  \begin{itemize}
	\item \acompleter \\

	  \acompleter \\

	\item \acompleter \\

	  \acompleter
  \end{itemize}
\end{exempleff}

\begin{remff}
  Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues, c'est déterminer tous les couples
  $\left( x\pv y \right)$ solutions de ce système.
\end{remff}

\subsection{ Interprétation graphique d'un couple solution}

Un système linéaire de deux équations à deux inconnues peut s'écrire :\\

\acompleter \\

\acompleter \\ 

\acompleter \\

\begin{itemize}
  \item Si $ab'-a'b \ne 0. $ \acompleter \\

	\acompleter \\

  \item Si $ab'-a'b=0.$  \acompleter \\

	\acompleter \\ 

	\acompleter \\ 
\end{itemize}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}[t]{|c|cc|}
  \hline
   $ab'-a'b\ne 0$ &\multicolumn{2}{|c|}{$ ab'-a'b= 0$} \\
  \hline
  \scalebox{.6}{
  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(9,6)
	\MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{18}{12}
	\psline[linewidth=1pt]{-}(0, 1)(9,1)
	\psline[linewidth=1pt]{-}(4, 0)(4,6)
	\psline[linewidth=1pt]{-}(0, 5)(9,2)
	\psline[linewidth=1pt]{-}(1, 0)(7,6)
	\uput{.2}[225](4,1){$O$}
	\uput{.2}[315](2,4){$d$}
	\uput{.2}[90](3,1.5){$d'$}
	\uput{.2}[270](4.5,1){$\vec{\imath}$}
	\uput{.2}[45](4,1.5){$\vec{\jmath}$}
	\psline[linewidth=1pt]{->}(4, 1)(5,1)
	\psline[linewidth=1pt]{->}(4, 1)(4,2)
  \end{pspicture}
  }&
  \scalebox{.6}{
  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(9,6)
	\MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{18}{12}
	\psline[linewidth=1pt]{-}(0, 1)(9,1)
	\psline[linewidth=1pt]{-}(4, 0)(4,6)
	\psline[linewidth=1pt]{-}(0, 2)(9,4)
	\uput{.2}[90](7,3.5){$d$}
	\uput{.2}[270](7,3.5){$d'$}
	\uput{.2}[225](4,1){$O$}
	\uput{.2}[270](4.5,1){$\vec{\imath}$}
	\uput{.2}[45](4,1.5){$\vec{\jmath}$}
	\psline[linewidth=1pt]{->}(4, 1)(5,1)
	\psline[linewidth=1pt]{->}(4, 1)(4,2)
  \end{pspicture}
  }&
  \scalebox{.6}{
  \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture}(0,0)(9,6)
	\MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{18}{12}
	\psline[linewidth=1pt]{-}(0, 1)(9,1)
	\psline[linewidth=1pt]{-}(4, 0)(4,6)
	\psline[linewidth=1pt]{-}(0, 2)(9,4)
	\psline[linewidth=1pt]{-}(0, 3.5)(9,5.5)
	\uput{.2}[90](7,5){$d'$}
	\uput{.2}[270](7,3.5){$d$}
	%\psline[linewidth=1pt]{-}(0, 5)(9,2)
	\uput{.2}[225](4,1){$O$}
	\uput{.2}[270](4.5,1){$\vec{\imath}$}
	\uput{.2}[45](4,1.5){$\vec{\jmath}$}
	\psline[linewidth=1pt]{->}(4, 1)(5,1)
	\psline[linewidth=1pt]{->}(4, 1)(4,2)
  \end{pspicture}
  }\\

  $d$ et $d'$ sécantes & $d$ et $d'$ confondues & $d$ et $d'$ strictement parallèles \\
  \hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{ Méthodes de résolution}
On commence par déterminer le nombre de solutions du système.
\subsubsection{ Par combinaisons}
\begin{itemize}
  \item Principes : on élimine l'une des inconnues $x$ ou $y$ en combinant les deux équations. Pour
	cela on 
	\begin{itemize}
	  \item multiplie les deux membres d'une équation par un même nombre non nul ;
	  \item ajoute ou retranche membre à membre les deux équations.
	\end{itemize}
  \item \textbf{Exemple.} Soit le système $\left( S \right)\ 
	\begin{systeme}{2}
	  3x+4y &=& 19\\
	  -6x+y&=& -2
	\end{systeme}
	$\\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\ 

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\


\end{itemize}

\subsubsection{ Par substitution}

\begin{itemize}
  \item Principes : on exprime l'une des inconnues $x$ ou $y$ en fonction de l'autre, puis on l'a
	substitue dans la deuxième équation.
  \item \textbf{Exemple.} Soit le système $\left( S \right)\ 
	\begin{systeme}{2}
	  x+3y &=& 15\\
	  2x+y&=& 10 
	\end{systeme}
	$\\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

\end{itemize}
	\subsubsection{Cas de systèmes avec $0$ ou une infinité de solutions}

	\acompleter \\ 

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter 















\end{document}
