\documentclass[a4paper,oneside]{book}
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\lhead{Seconde}
\chead{}\rhead{ Calculs algébriques}
\renewcommand{\headrulewidth}{1.6pt}
\setstretch{1.1}
\def\interlignespacing{1.1}


% profondeur pour avoir la numérotation de subsubsection
%\setcounter{secnumdepth}{5}	




\begin{document}
\titre{Calculs algébriques}{}

\section{Rappels}

\begin{itemize}
  \item \textbf{ Commutativité :} \quad $a\times b= \makebox[3cm]{\acompleter}$ \quad $a+ b=
	\makebox[3cm]{\acompleter}$\\
  \item \textbf{ Associativité :} \quad $a\times \left( bc \right)= \makebox[3cm]{\acompleter}$
	\quad $a+ \left( b+c \right)= \makebox[3cm]{\acompleter}$\\
  \item \textbf{Distributivité :} Pour tous nombres $a,$ $b$ et $c,$ $a\left( b+c \right)=
	\makebox[3cm]{\acompleter}$\\
  \item \textbf{Règle des signes :} 
	\begin{itemize}
	  \item $a\times \left( -b \right)=\makebox[6cm]{\acompleter} $ \quad et\quad $\left( -a \right)\times
		\left( -b \right)=\makebox[3cm]{\acompleter}$\\
	  \item $\dfrac{-a}{b}=\makebox[6cm]{\acompleter}$ \quad et\quad
		$\dfrac{-a}{-b}=\makebox[3cm]{\acompleter}$\\
	\end{itemize}
  \item \textbf{Simplification :}
	\begin{itemize}
	  \item Si $ac=bc$ et $c\ne 0$ alors \makebox[3cm]{\acompleter}\\
	  \item $\dfrac{ka}{kb}=\makebox[3cm]{\acompleter}$\\
	\end{itemize}
  \item \textbf{Addition de quotients :}\quad $\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}=\makebox[3cm]{\acompleter}$

	(si le dénominateur n'est pas le même il faut mettre au même dénominateur).\\
  \item \textbf{Multiplication de quotients : } $k\times \dfrac{a}{b}=\makebox[3cm]{\acompleter}$
	\quad et \quad $\dfrac{a}{c}\times \dfrac{c}{d}=\makebox[3cm]{\acompleter}$\\
  \item \textbf{Division de quotients :} \quad$\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}}=\makebox[3cm]{\acompleter}$ \quad
	et \quad $\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}= \makebox[6cm]{\acompleter}$
\end{itemize}

\begin{exempleffsans}
  \begin{itemize}
	\item $\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{7}}= \makebox[8cm]{\acompleter}$\\

	\item $-\dfrac{9}{7}\times \dfrac{-5}{2}=\makebox[5cm]{\acompleter}$
  \end{itemize}
\end{exempleffsans}

\section{Expressions algébriques}

Une expression algébrique est une expression constituée de nombres et de lettres qui représentent
des nombres, reliés par des opérations élémentaires : addition, soustraction, multiplication \ldots

\begin{exempleffsans}
  \begin{itemize}
	\item $\makebox[4cm]{\acompleter}$\\
	\item $\makebox[4cm]{\acompleter}$
  \end{itemize}
\end{exempleffsans}

\begin{remff}
  Une expression algébrique peut-être une somme, une différence, un produit ou un quotient.\\
  \begin{itemize}
	\item $2\sqrt{x}-7x^3$ \acompleter\\
	\item $\left( 2x+2 \right)\left( 5-4x \right)$ \acompleter
  \end{itemize}
\end{remff}

\section{Transformations d'une expression algébrique}

\subsection{Développement }

\defic{}{Développer un produit revient à l'écrire sous la forme d’une somme
algébrique. Il s’agit donc de transformer un produit en somme. }

\begin{remff}
  On est souvent amené à utiliser la double distributivité :\\
  {\setlength{\jot}{10pt}
  \begin{align*} 
	\left( a+b \right)\left( c+d \right)   &=  \makebox[8cm]{\acompleter} \\[0.4cm] 
	 &=  \makebox[8cm]{\acompleter} \\ 
  \end{align*}}
  Dans la pratique :
  \[ \left( a+b \right)\left( c+d \right) = \makebox[8cm]{\acompleter} \]
\end{remff}

\begin{exempleffsans}
  $\left( 3-4x \right)\left( 2-5x \right)=\makebox[12cm]{\acompleter}$
\end{exempleffsans}

\defic{}{ Réduire et ordonner une somme algébrique, c'est rassembler les termes de même nature et
les ranger suivant les puissances croissantes ou décroissantes.}

\begin{exempleffsans}
  \begin{itemize}
	\item $\left( x^2+3 \right)-\left( 2-x \right)-\left( 5+3x^2 \right)=\makebox[10cm]{\acompleter}$
	\item $ -7x+2x^2-5x+3x^2-11=\makebox[10cm]{\acompleter}$
  \end{itemize}
\end{exempleffsans}

\subsection{ Factoriser }

\defic{}{ 
 Factoriser une somme algébrique revient à l'écrire sous la forme d'un
produit. Il s'agit donc de transformer une somme en produit.
}

\begin{exempleffsans}
  Factorisons la somme suivante :\\

	$\left( x-2 \right)\left( 3x+5 \right)+ \left( x-2 \right)=\makebox[10cm]{\acompleter}$

\end{exempleffsans}

\begin{remff}
  La plupart du temps, pour factoriser une expression, on recherche un facteur commun. Cependant, il
  est toujours possible de factoriser par n'importe quel nombre non nul.
  Factorisons $5$ dans l'expression suivante :

  \[x+3= \makebox[6cm]{\acompleter}\]
\end{remff}

\section{ Identités remarquables }

\proprc{}{
  \vspace{0.3cm}
  \begin{center}
	\begin{minipage}[t]{10cm}
  \begin{itemize}
	\item $ \left( a+b \right)^2=\makebox[7cm]{\acompleter}$\\
	\item $ \left( a-b \right)^2=\makebox[7cm]{\acompleter}$\\
	\item $ \left( a+b \right)\left( a-b \right)=\makebox[6cm]{\acompleter}$\\
  \end{itemize}
	\end{minipage}
  \end{center}
}

\begin{demf}
  \deslignes{6}
\end{demf}

\begin{savoirfaire}[Utiliser les identités remarquables]
  \begin{itemize}
	\item Développer l'expression suivante : $\left( 1-x \right)^2=\makebox[4cm]{\acompleter}$\\
	\item Factoriser les expressions suivantes :\\
	  %\begin{minipage}[t]{13cm}
	  {\setlength{\jot}{10pt}
	  \begin{align*} 
		\scalebox{0.4}{$\boldsymbol{\square}$}\ \left( x+5 \right)\left( 3-x \right)-9+6x-x^2   &=
		\makebox[10cm]{\acompleter} \\ 
		&= \makebox[10cm]{\acompleter} \\ 
		&= \makebox[10cm]{\acompleter}  
	  \end{align*}}
	  %\vspace{-1cm}
	 {\setlength{\jot}{10pt}
	  \begin{align*} 
		\scalebox{0.4}{$\boldsymbol{\square}$}\  4x^2-9+\left( 2x+3 \right)\left( 2x-3 \right)  &=
		\makebox[10cm]{\acompleter}  \\ 
		 &= \makebox[10cm]{\acompleter}  \\ 
		 &= \makebox[10cm]{\acompleter}   
	  \end{align*}}
	  %\end{minipage}
  \end{itemize}
\end{savoirfaire}
\section{Calculs avec des puissances}
\subsection{Rappels}

\defic{}{
Soit $a$ un nombre et $n$ un entier strictement positif.
\begin{itemize}
  \item $a^n=\makebox[7cm]{\acompleter}  $

  \item si $a\ne 0,$ $a^{-n}= \makebox[7cm]{\acompleter} $

  \item $a^0= \makebox[3cm]{\acompleter}$
\end{itemize}
}

\begin{exempleff}
  \begin{itemize}
	\item $2^{-3}= \makebox[3cm]{\acompleter} $

	\item $\dfrac{1}{5}= \makebox[3cm]{\acompleter}$
  \end{itemize}
\end{exempleff}

\proprc{}{
Soient $a$ et $b$ deux nombres non nuls et $m$ et $n$
deux entiers relatifs.
 
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
  \begin{itemize}
	\item $a^m \times a^n =$ \acompleter

	\item $\dfrac{a^m}{a^n}= $\acompleter


	\item $a^m \times b^m = $\acompleter

	\item  $\dfrac{a^m}{b^m}=$\acompleter
  \end{itemize}
\end{multicols}
\begin{itemize}
  \item $\left( a^m \right)^n=$ \makebox[6cm]{\acompleter}
\end{itemize}
}

\begin{exempleff}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
  \begin{itemize}
	\item $\left( -3 \right)^{4}\times \left( -3 \right)^{2}= $\acompleter

	\item $\dfrac{2^2}{2^5}= $\acompleter

	\item $ \left( 5^4 \right)^3  = $ \acompleter
	  
	\item $10^5 \times 6^5  = $\acompleter

	\item $\dfrac{\left( -8 \right)^3}{2^3}  = $ \acompleter
  \end{itemize}
\end{multicols}
\end{exempleff}

\subsection{Notation scientifique}

Tout nombre $r$ peut être approché par un nombre s'écrivant sous la forme $\plusmoins M\times
10^{n}$, où $M$ est un nombre décimal tel que $1\leq M <10$ et $n$ un entier relatif.

\begin{itemize}
  \item $\plusmoins M\times  10^{n}$ est appelée écriture scientifique de $r$.
  \item $m\times  10^{n}$, où $m$ est un arrondi entier de $M$ est appelé ordre de grandeur de $r$. 
\end{itemize}


\begin{exempleff}
  \begin{itemize}
	\item 
  En informatique l'écriture conventionnel de 1Mo correspond à un méga-octet qui est l'ordre de
  grandeur de $2^{20}=\nombre{1048564}$.

  Depuis la normalisation de 1998 par la Commission électrotechnique internationale, les préfixes kilo, méga, giga, téra, etc, correspondent aux mêmes multiplicateurs que dans tous les autres domaines, soit des puissances de 10 :

  1 megaoctet$=10^{6}$ octets
\item Donner l'écriture scientifique des nombres suivants :
  \begin{itemize}
	\item $\nombre{0,0045}=$\acompleter\\

	\item $\dfrac{0,4\times 10^{-3}\times 2,5 \times 10^5}{5\times \left( 10^2
	  \right)^7}=$\acompleter
  \end{itemize}
  \end{itemize}

\end{exempleff}



\section{Calculs avec des radicaux}

\defic{}{
  Soit $a$ un nombre positif. La racine carrée de $a,$ notée $\sqrt{a},$ est le nombre positif dont
  le carré et égal à $a.$
}

\proprc{}{
  Soient $a$ et $b$ deux nombres \textbf{positifs}. On a :
  \begin{itemize}
	\item $\sqrt{a^2}=\left( \sqrt{a} \right)^2=a\pvv$\\
	\item $\sqrt{ab}=\makebox[5cm]{\acompleter}$ \quad et, si $b\ne0,$ \quad
	  $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\makebox[5cm]{\acompleter}$
  \end{itemize}

}

\begin{remff}
  \begin{itemize}
	\item \deslignes{2}\\
	\item \deslignes{2}
  \end{itemize}
\end{remff}

\begin{exempleffsans}
  \begin{itemize}
	\item $\sqrt{45}= \makebox[8cm]{\acompleter} $\\
	\item $\sqrt{\dfrac{25}{16}}= \makebox[8cm]{\acompleter} $\\
  \end{itemize}
\end{exempleffsans}

\begin{savoirfaire}
  \begin{itemize}
	\item Exprimer $\sqrt{32}$ sous la forme $n\sqrt{2},$ où $n$ est un entier naturel.
	  \deslignes{2}
	\item Simplifier l'écriture du nombre $A=\dfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{32}}{3\sqrt{2}}.$
	  \deslignes{3}
  \end{itemize}
\end{savoirfaire}

\section{Dénomination des ensembles de nombres}
\bigskip

\begin{itemize}
  \item On note \makebox[2cm]{\acompleter} l'ensemble des entiers naturels $\left\{ 0 \pv 1 \pv 2
	  \pv \ldots \right\}$\\
  \item On note \makebox[2cm]{\acompleter} l'ensemble des entiers (relatifs) $\left\{ \ldots \pv -2 \pv
	  -1 \pv 0 \pv 1 \pv 2 \pv \ldots \right\}$\\
  \item On note \makebox[2cm]{\acompleter} l'ensemble des décimaux.
	C'est l'ensemble des nombres qui s'écrivent avec un nombre fini\\ 
	
	de chiffres après la virgule. \acompleter \\

  \item On note \makebox[2cm]{\acompleter} l'ensemble des rationnels.
	C'est l'ensemble des quotients d'entiers. \acompleter \\

	\acompleter\\
  \item On note \makebox[2cm]{\acompleter} l'ensemble des réels. C'est l'ensemble de tous les
	nombres.  \acompleter \\

	\acompleter\\
\end{itemize}

\begin{remff}
  \deslignes{2}
\end{remff}

\begin{exempleff}

Déterminer le plus petit ensemble parmi $\GN$, $\GZ$, $\GD$, $\GQ$ et $\GR$
auquel appartient chacun des nombres suivants et placer les sur
la figure :

\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $a=\sqrt{9}$\vtab
\item $b=\sqrt{7}$\vtab
\item $c=\cfrac{355}{113}$\vtab
\item $d=\cfrac{54}{27}$\vtab
\item $e=\cfrac{0,1\pi-10\pi}{2\pi}$\vtab
\end{enumerate}
\end{multicols}

%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(13,6.5)

\psset{framearc=.5,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=white}
\psframe(0,0)(12.5,6.5)
\psframe(0.25,0.25)(10.5,6.25)
\psframe(0.5,0.5)(8.5,6)
\psframe(.75,.75)(6.5,5.75)
\psframe(1,1)(4.5,5.5)
\rput[B](12.5,3){\psovalbox{$\GR$}}
\rput[B](10.5,3){\psovalbox{$\GQ$}}
\rput[B](8.5,3){\psovalbox{$\GD$}}
\rput[B](6.5,3){\psovalbox{$\GZ$}}
\rput[B](4.5,3){\psovalbox{$\GN$}}
\end{pspicture}

%\figtitre{2809011615}
\end{center}
%\end{figure}
\end{exempleff}

\section{Équations}

\defic{}{
\begin{itemize}
  \item Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs qui la vérifient, c'est à dire
	donner l'ensemble des solutions.
  \item Deux équations équivalentes sont deux équations qui ont le même ensemble de solutions.
\end{itemize}
}

\begin{remff}
  On résout (en général) une équation par des transformations d'écritures. 

  Rappelons les plus simples.
  Une équation a les mêmes solutions que toutes les équations obtenues :
  \begin{itemize}
	\item \textbf{en ajoutant ou en retranchant } un même nombre aux deux membres de l'équation ;
	\item \textbf{en multipliant ou en divisant } les deux membres par un même nombre non nul.
  \end{itemize}
  Les équations obtenues sont dites équivalentes.
\end{remff}

\theoc{}{
  Lorsque $a\ne0$, l'équation $ax+b=0$ a une unique solution $x=-\dfrac{b}{a}$.
}
\begin{exempleff} %\mbox{}
  \begin{itemize}
	\item  \acompleter \\

	  \acompleter \\
	\item  \phantom{\Large O}\acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter 

  \end{itemize}
\end{exempleff}

\theoc{}{
\begin{itemize}
  \item Produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
	\[A\times B= 0 \ssif A=0 \text{ ou } B=0.\]
  \item Quotient nul : Un quotient est nul si, et seulement si, le numérateur est nul mais pas le
	dénominateur.
	\[\dfrac{N}{D}=0 \ssif N=0 \text{ et } D \ne 0.\]
\end{itemize}
}

\begin{exempleff} %\mbox{}
  \begin{itemize}
	\item $-3x\left( 5x-3 \right)=0$ $\iff$ \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	\item $\dfrac{4x+1}{x+2}=0$ $\iff$ \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\ 

%\textbf{Un autre exemple :}

\item Soit l'équation $ \dfrac{x^2-9}{\left( x+3 \right)\left( x-2 \right)}=0$.\\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

%\phantom{\Large O}
\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\ 

\acompleter \\ 

\acompleter \\ 

\acompleter \\

\acompleter \\ 

\acompleter \\ 

\acompleter \\ 

\acompleter \\

\acompleter \\ 

\acompleter \\

\acompleter 

  \end{itemize}
\end{exempleff}



%\newpage
\input{exercices}

\end{document}






















