\documentclass[a4paper,oneside]{book}
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\lhead{Seconde}
\chead{}\rhead{ Arithmétique}
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\def\interlignespacing{1.1}
\setcounter{secnumdepth}{5}

\def\drapeau{1}
\def\deslignescor{0}




\begin{document}
\titre{Arithmétique}{}

\subsection{Rappels}

\defic{}{
  \medskip

  \begin{itemize}
	\item Les entiers naturels sont les nombres $0,1,2,\ldots$
	  Cet ensemble est noté $\GN.$
	\item L'ensemble des entiers relatifs (on dit aussi l'ensemble des entiers) est formé des entiers naturels et de leurs opposés :
	  $\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots$ Cet ensemble est noté $\GZ.$ 
	\item $\GN \subset \GZ.$
  \end{itemize}
}

\subsection{Multiples et diviseurs}

\defic{}{
  \medskip

Soit $a$ et $b$ deux entiers.
\begin{itemize}
  \item 
On dit que $a$ est un multiple de $b$ lorsqu'il existe un entier
$k$ tel que $a=kb.$
\item Si de plus $b\ne 0,$ on dit que $b$ divise $a$ ou que $b$ est un diviseur de $a.$
\end{itemize}
}

\begin{exemplef}
  \begin{itemize}
	\item $a=12,$ $b=3$ \acompleter \\

	\item $a=10,$ $b=5$ \acompleter \\

    \item $a=17,$ $b=2$ \acompleter 
  \end{itemize}
\end{exemplef}


\proprc{}{
  \medskip

Soit $a$ un entier. La somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a.$
}

\begin{demf} (exemple de démonstration dans le cas ou $a=5$)\\

  \acompleter \\

  \acompleter \\
  
  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 
\end{demf}

\vspace{-1.5cm}
\subsection{Nombres pairs, nombres impairs}

\defic{}{
  \medskip

  \begin{itemize}
	\item Un nombre entier $a$  est pair lorsqu'il  est un multiple de $2,$ c'est à dire lorsqu'il existe  un entier
	  $k$ tel que $a=2k.$
	\item Un nombre entier $a$ est impair lorsqu'il n'est pas un multiple de $2,$ c'est à dire
	  lorsqu'il existe un entier $k$ tel que $a=2k+1.$
  \end{itemize}
}

\begin{exemplef}
  \begin{itemize}
	\item \acompleter \\

	\item \acompleter 

  \end{itemize}
\end{exemplef}

\proprc{}{
  \medskip

  \begin{itemize}
	\item Le carré d'un nombre pair est pair.
	\item Le carré d'un nombre impair est impair.
  \end{itemize}
}

\begin{demf}

  \acompleter \\

  \acompleter \\
  
  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 
  
\end{demf}

\begin{exempleff} $\sqrt{2}$ n'est pas un rationnel. 
	 \deslignes{9}
\end{exempleff}

\vspace{-0.2cm}

\subsection{Nombres premiers}

  \defic{}{
  \medskip

	\begin{itemize}
	   \item
		Un nombre entier naturel $p$ est premier s'il possède exactement deux diviseurs positifs :
		$1 $ et lui même.
	   \item Un entier supérieur à $2$ qui n'est pas premier et dit composé.
	\end{itemize}
  }


\begin{exempleff}  
		\mbox{}
\begin{itemize}
	\item \deslignes{2}\\

	\item \deslignes{2}\\

	\item \deslignes{1}\\

	\item \deslignes{2}
  \end{itemize}
\end{exempleff}

\begin{remff}
	 \deslignes{2}
\end{remff}

\begin{savoirfaire}[Trouver tous les diviseurs positifs d'un entier (première méthode)]
  Diviseurs positifs de $n=\nombre{2646}.$\\
  
  \deslignes{5}

  
\end{savoirfaire}


  \theoc{}{
  \medskip

	Tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ se décompose en un produit de nombres premiers.
	Cette décomposition  est unique à l'ordre des facteurs près.

	On écrira $n=p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha_{2}}\ldots p_{k}^{\alpha_{k}}$ où $n\geq 2$,
	$p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{k}$ sont des nombres premiers distincts et $\alpha_{1}, \alpha_{2},
	\ldots, \alpha_{k}$ sont des entiers naturels non nuls.
  }

\begin{exempleff}  
		\mbox{}
	 \deslignes{7}\\
\end{exempleff}


\begin{savoirfaire}[Trouver tous les diviseurs positifs d'un entier (deuxième méthode)]
  Diviseurs positifs de $n=\nombre{2646}.$\\
  
  \deslignes{5}

  
\end{savoirfaire}

  \begin{savoirfaire}[Résoudre des problèmes avec des multiples et des diviseurs]
	\begin{enumerate}
	  \item Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple
		
		de $3.$
	  \item Déterminer un nombre entier $n$ compris entre $600$ et $800,$ qui est pair, divisible
		par $11$ et multiple de $3$ et de $5.$ 
	\end{enumerate}
	 \deslignes{12}\\
\end{savoirfaire}

%\newpage

	 \begin{savoirfaire}[Résoudre des problèmes avec des nombres pairs ou impairs ]
	   \begin{enumerate}
		 \item Montrer que la somme de deux nombres impairs est un nombre pair.
		 \item Montrer que le produit de deux entiers consécutifs est un nombre pair.
	   \end{enumerate}
		   \deslignes{15}
	   \end{savoirfaire}
		   

	   \begin{savoirfaire}[Résoudre des problèmes avec des nombres premiers ]
		 \begin{enumerate}
		   \item Soit $n$ un entier naturel non nul et $p=\left( n+1 \right)\left( n+3 \right).$
			 Montrer que $p$ n'est pas premier.
		   \item Soit $n$ un entier naturel supérieur à $2$ et $q=\left( n-1 \right)\left( n^2+7
			 \right).$ Pour quelles valeurs de $n$ l'entier $q$ est-il premier ?
		 \end{enumerate}
		   \deslignes{12}
  \end{savoirfaire}

  \newpage

  \subsection{Exercices}
  \input{insert-exercices}
  \end{document}

















