\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\lhead{seconde}
\chead{}\rhead{Contrôle~: arithmétique (1h)}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: arithmétique (1h)}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE arithmetique-15.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Déterminer les diviseurs positifs de $\nombre{1183}.$

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE arithmetique-11.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Soit $n=3^{14}\times 5^{12}\times 17^{43}.$
\begin{enumerate}
  \item Donner le \textbf{nombre } de diviseurs positifs de $n.$
  \item Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de l'entier $k$ tel que $\sqrt{n}=k\sqrt{17}.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE arithmetique-12.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
\begin{enumerate}
  \item Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de $a=\nombre{7623}.$
  \item Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de $b=\nombre{251559}.$
  \item Simplifier $\dfrac{b}{a}.$
  \item $b$ est-il un multiple de $a$?
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE arithmetique-13.tex
%%%%% Exo  4 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
$a=\nombre{3087}$ et $b=\nombre{4125}.$
\begin{enumerate}
  \item Donner deux multiples de $a$ et deux multiples de $b.$
  \item Donner les décompositions en produit de facteurs premiers de $a$ et de $b.$
  \item Déterminer le plus petit multiple commun à $a$ et a $b.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE arithmetique-14.tex
%%%%% Exo  5 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Soit $n$ un entier pair. Montrer que $n^2+\left( n+1 \right)^2+3$ est un multiple de $4.$

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE arithmetique-16.tex
%%%%% Exo  6 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Soit $n=2^{254}\times 3^{25}\times 5^{789}.$
\begin{enumerate}
  \item Déterminer le plus petit entier $k$ tel que $nk$ soit un cube parfait.
  \item Que vaut la racine cubique de $nk$?
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
$\nombre{1183}=7\times13^2.$
\`A l'aide d'un arbre, on obtient l'ensemble :
\[\bigset{ 1\pv  7 \pv 13 \pv 91\pv 169\pv \nombre{1183}}.\]

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item Il y a $15\times 13\times44= \nombre{8580}$ diviseurs positifs de $n.$
  \item $\sqrt{n}=\sqrt{3^{14}\times5^{12}\times 17^{43}}= 3^7\times 5^6\times 17^{21}\sqrt{17}.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item $a= 3^2\times7\times11^2.$
  \item $b= 3^3\times7\times11^3$
  \item $\dfrac{b}{a}=33.$
  \item Oui, $b=33\times a.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item $a$ $2a$ et $3a$ sont des multiples de $a.$ De même pour $b.$
  \item $a=3^2\times 7^3$ et $b=3\times5^3\times11.$
  \item Le ppcm est $3^2\times5^3\times7^3\times11.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
Comme $n$ est pair, il existe $k\in\GZ$ tel que $n=2k.$

$n^2+\left( n+1 \right)^2+3=\left( 2k \right)^2+\left( 2k+1 \right)^2+3=4k^2+4k^2+4k+1+3=4\left( 2k^2+k+1 \right)$ qui est bien un multiple de $4.$

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item $k=18.$ Effectivement, $18n=2^{255}\times3^{27}\times5^{789}=\left( 2^{85}\times 3^9\times 5^{263} \right)^3.$
  \item La racine cubique vaut $2^{85}\times3^9\times 5^{263}.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
