\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\lhead{seconde}
\chead{}\rhead{Contrôle~: arithmétique}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: arithmétique}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE decomposition1.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
\begin{enumerate}
  \item  Décomposer le nombre $1\, 008$ en produit de facteurs
premiers.
\item \'Ecrire le nombre $\sqrt {1\, 008}$ sous la forme $a\sqrt{7}$ où $a$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE decomposition2.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
  %%% decomposition en nombre premier et applications
  \begin{enumerate}
    \item Donner la décomposition en facteurs premiers de 60, 120 et 126.
    \item En déduire :
    \begin{enumerate}
      \item la liste des diviseurs positifs de $120\ ;$
      \item l'écriture de $\dfrac{120}{126}$ sous forme irréductible;
      \item l'écriture de $\sqrt{60}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ entiers, $b$ étant le plus petit possible;
      \item le plus grand diviseur commun à $120$ et $126.$
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE arithmetique-07.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Soient $a$ et $b$ deux entiers impairs. Montrer que $a^2+b^2$ est un nombre pair.

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE arithmetique-08.tex
%%%%% Exo  4 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de multiples de $12$ compris entre $\nombre{1000}$ et $\nombre{2000}.$
  \item Déterminer le nombre de multiples de $4$ compris entre $\nombre{10000}$ et $\nombre{20000}.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE arithmetique-09.tex
%%%%% Exo  5 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Déterminer dans chaque cas si $a$ est un diviseur de $b.$
\begin{enumerate}
  \item $a=3^5\times 5^3\times 7^6,$ $b=3^6\times 5^3\times 7\times 5.$
  \item $a=3^4\times 5^{13}\times 7^2,$ $b=3^9\times 5^{15}\times 7\times 5.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE arithmetique-10.tex
%%%%% Exo  6 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
\begin{enumerate}
  \item \'Ecrire le nombre $\nombre{3528} $ en produit de facteurs premiers.
  \item Déterminer le plus petit entier naturel $k$ non nul tel que $\nombre{3528}k$ soit un carré parfait.
  \item Même question avec un cube parfait.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item On trouve $1\, 008 = 2^4 \times 3^2 \times 7$.
  \item  d'où $\sqrt {1\, 008} = 2^2 \times 3 \sqrt 7$, soit $\sqrt {1\, 008} = 12 \sqrt 7$.

\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item 
    \begin{itemize}
      \item $60=2^2\times3\times5$
      \item $120=2^3\times3\times5$
      \item $126=2\times3^2\times7$
    \end{itemize}
  \item 
    \begin{enumerate}
      \item $\{1 \pv 2 \pv 3 \pv 4 \pv 5 \pv 6 \pv 8 \pv 10 \pv 12 \pv 15 \pv 20 \pv 24 \pv 30\pv 40 \pv 60\pv 120\}$
      \item $\dfrac{120}{126}=\dfrac{2^3\times3\times5}{2\times3^2\times7}=\dfrac{2^2\times5}{3\times7}=\dfrac{20}{21}$.
      \item $\sqrt{60}=\sqrt{2^2\times3\times5}=2\sqrt{15}$.
      \item $2\times3=6$, le $PGCD$ de $120$ et $126$ est $6$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{itemize}
  \item Première méthode : $a$ et $b$ sont impairs donc leurs carrés aussi. La somme de deux nombres impairs est paire donc $a^2+b^2$ est paire.
  \item Deuxième méthode : il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que $a=2k+1$ et $b=2k'+1.$ On a alors :
	{\setlength{\jot}{10pt}
	\begin{align*} 
	  a^2+b^2   &=  \left( 2k+1 \right)^2+\left( 2k'+1 \right)^2 \\ 
	   &= 4k^2+4k+1+4k'^2+4k'+1 \\ 
	   &= 2\left( 2k^2+2k+2k'^2+1 \right) \\ 
	\end{align*}} 
	ce qui prouve que $a^2+b^2$ est paire.
\end{itemize}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item Déterminons combien d'entiers $k$ vérifient l'inégalité :
	\[ \nombre{1000}\leq 12k \leq \nombre{2000}.\]
	Comme $\dfrac{\nombre{1000}}{12}\approx 83,3$ et $\dfrac{\nombre{2000}}{12}\approx 166,7$ on en déduit que $k$ vérifie l'inégalité :
	$$ 84\leq k\leq 166.$$
	Il y a donc $166-84+1=83$ multiples de $12$ compris entre $\nombre{1000}$ et $\nombre{2000}.$
  \item On procède de la même manière et on obtient $\nombre{2501}$ multiples.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item $\dfrac{b}{a}=\dfrac{3\times 5}{7^5} \notin \GZ$ donc $a$ n'est pas un diviseur de $b.$
  \item $\dfrac{b}{a}=\dfrac{3^5\times 5^3}{7}\notin \GZ$ donc $a$ n'est pas un diviseur de $b.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item $\nombre{3528}=2^3 \times 3^2\times 7^2.$
  \item $k=2.$
  \item $k=3\times 7 =21.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
