\documentclass[a4paper,oneside]{book}
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\lhead{Première générale}
\chead{}\rhead{ Probabilités conditionnelles}
\renewcommand{\headrulewidth}{1.6pt}
\setstretch{1.1}
\def\interlignespacing{1.1}
\setcounter{secnumdepth}{5}

\begin{document}
%\large

\titre{Probabilités : conditionnements et dépendances}{}
\section{Rappels}

\subsection{Vocabulaire}


{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}\begin{tabular}[t]{|p{0.45\textwidth}|p{0.45\textwidth}|}
  \hline
  \textbf{Vocabulaire}  & \textbf{Exemples}  \\
  \hline
  \textbf{L'expérience aléatoire}

  C'est une expérience dont on connait les résultats possibles (ou éventualités), mais dont on ignore lequel sera obtenu avant que l'expérience ne soit réalisée.

  &  Dans une famille de deux enfants les résultats possibles sont :
  $\coo{F}{G}$ ou $\coo{G}{F}$ ou $\coo{G}{G}$ ou $\coo{F}{F}$.\\
  \hline
  \textbf{L'univers \boldmath{$\Omega$}} 

  C'est l'ensemble formé de tous les résultats possibles.
  &  L'univers est :

  $\Omega=\big\{ \coo{F}{G}\pv \coo{G}{F} \pv \coo{G}{G}\pv \coo{F}{F} \big\}$\\
  \hline
  \textbf{Un évènement}

  C'est un sous-ensemble de l'univers& 

  Par exemple : $A=\big\{ \coo{F}{G}\pv \coo{F}{F} \pv \coo{G}{F}\big\}$

  On peut aussi définir $A$ par \og la famille a eu au moins une fille \fg.
  \\
  \hline
  \textbf{Un événement $A$ est réalisé}

  Cela signifie que le résultat obtenu est un élément du sous-ensemble $A$.
  &  $A$ est réalisé si la famille a eu $\coo{F}{G}$. \\
  \hline
  \textbf{Un évènement élémentaire}

  C'est un événement formé d'un unique résultat possible& Par exemple $B=\big\{ \coo{G}{G} \big\}$.  \\
  \hline
\end{tabular}}

\subsection{Modélisation}

\subsubsection{Loi de probabilité}

On définit une loi de probabilité $P$ sur l'univers $\Omega=\left\{ x_{1}, x_2, \cdots, x_n
\right\}$ en associant à chacun des éléments $x_i$ de $\Omega$ un réel positif ou nul $P\left(
x_{i}
\right)=p_i$ tels que $p_1+p_2+ \cdots+ p_n=1$.

Cette loi peut être  notée $\left( x_{i} \pv p_{i} \right)$, $1\leq i\leq n$ ou  dans un tableau :
%\vspace{-.9cm}

\begin{center}
  {\renewcommand{\arraystretch}{1.5}\begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|}
	\hline
	\quad  $x_1 \quad  $     &\quad   $x_2 \quad  $    & $\cdots\cdots$    &\quad   $x_n \quad  $   \\
	\hline
	$p_1$  & $p_2$  & $\cdots\cdots$    & $p_n$  \\
	\hline
  \end{tabular}}
\end{center}



\subsubsection{ \'Equiprobabilité}

Lorsque tous les réels $p_i$, $1\leq i \leq n$, sont égaux, on est en situation d'équiprobabilité sur l'univers $\Omega$. 

On a alors pour tout $1\leq i\leq n$, $p_i=\dfrac{1}{n}.$


Dans ce cas, on parle aussi de \textbf{loi équirépartie}.

\begin{exempleff}
La modélisation de la naissance de deux enfants est une loi équirépartie :
\vspace{-.5cm}
\begin{center}
  {  \renewcommand{\arraystretch}{1.5}\begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|}
	\hline
	\quad  $x_i \quad  $     &\quad   $\coo{F}{G} \quad  $    & \quad  $\coo{G}{F}$  \quad  &\quad   $\coo{G}{G} \quad  $ & \quad $\coo{F}{F} \quad  $   \\
	\hline
	$p_i$  & $\frac{1}{4}$  & $\frac{1}{4}$   & $\frac{1}{4}$ & $\frac{1}{4}$\\
	\hline
  \end{tabular}}
\end{center}
\end{exempleff}

\subsection{Probabilité d'un événement}

\subsubsection{Définition}

Soient $\Omega=\left\{ x_1, x_2, \cdots, x_n \right\}$ l'univers 	associé à une expérience
aléatoire et $P$
 une loi de probabilité $\left( x_{i} \pv p_{i} \right)$, $1\leq i\leq n$ sur $\Omega$.

%\vspace{-.8cm}
%\begin{center}
 % {\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|}
%	\hline
%	\quad  $x_1 \quad  $     &\quad   $x_2 \quad  $    & $\cdots\cdots$    &\quad   $x_n \quad  $   \\
%	\hline
%	$p_1$  & $p_2$  & $\cdots\cdots$    & $p_n$  \\
%	\hline
 % \end{tabular}}
%\end{center}
%La \textbf{probabilité} associée à cette loi de probabilité est l'application $P$ définie sur l'ensemble des parties de $\Omega$ qui à tout événement $A$ inclus dans $\Omega$ associe le réel $P(A) $ de l'intervalle $\Intff{0}{1}$ définit par :

\begin{itemize}
  \item $P(\varnothing)=0$ ;
  \item si $A\ne\varnothing$, $\displaystyle P(A)=\sum_{x_i\in A}p_i$.
\end{itemize}

Le réel $P(A)$ est appelé probabilité de l'événement $A$.

\begin{exempleff}
  On considère un dé truqué dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau suivant :
  \begin{center}
	    \renewcommand{\arraystretch}{2}
  \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|Y{6}}
 \cline{1-7}
$x_i $& $1$  & $2$  & $3$  & $4$  & $5$ & $6$  \\
 \cline{1-7}
 $p_{i}$ & $0,1$   &  $0,1$ & $0,1$  & $0,2$  &$0,2$ &  $0,3$ \\
 \cline{1-7}
\end{tabularx}
\end{center}
Déterminons la probabilité d'obtenir un  nombre pair \\

\acompleter

\end{exempleff}
% \vspace{-0.5cm}
\subsubsection{Propriétés}
\medskip

\begin{enumerate}[leftmargin=*,label=({\roman*})]
  \item $P(\Omega)=$\makebox[3cm]{\acompleter  }
  \item Pour tout événement $A$ on a \makebox[3cm]{\acompleter  } 
  \item En situation d'équiprobabilité, si $A$ est un événement formé de $k$ éventualités dans un
	univers qui en contient $n$,\\

	alors \makebox[3cm]{\acompleter  }
	On écrit $P(A)=$\makebox[6cm]{\acompleter  }
\end{enumerate}

\subsubsection{Probabilité de la réunion, \boldmath $A\cup B$, de deux événements $A$ et $B$}
\medskip


\begin{enumerate}[(i)]
  \item Lorsque $A\cap B=\varnothing$, on dit que \acompleter  
  \item Si $A$ et $B$ sont deux événements quelconques alors \acompleter  
\end{enumerate}
\begin{exempleff}
%	$B$ : \og la famille a eu deux garçons \fg \acompleter \\
%
%	$C$ : \og la famille a eu une seule fille \fg \acompleter \\
%
%	$D$ : \og la famille a eu une fille en premier \fg \acompleter \\
%
  On sait que $P\left( A \right)=0,1,$ $P\left( B \right)=0,4$ et $P\left( A\cup B \right)=0,35.$
  Calculons $P\left( A\cap B \right).$\\

	\acompleter \\

	\acompleter 
\end{exempleff}
\vspace{-0.5cm}
\subsubsection{Probabilité de l'événement contraire d'un événement}
\medskip


   $P(\overline{A})=$\makebox[3cm]{\acompleter  }



%\subsection{Variables aléatoires}
%
%\subsubsection{Définition}
%
%On considère une expérience aléatoire dont l'univers est $\Omega=\left\{ x_1,x_2, \cdots , x_n \right\}$ ainsi que sa loi de probabilité associée.
%
%On appelle \textbf{variable aléatoire}, toute fonction $X$, définie sur $\Omega$ à valeur dans $\GR$.
%
%\subsubsection{Exemple}
%
%Dans une urne il y a une boule rouge $\left( R \right)$, une boule verte $\left( V \right)$ et une
%boule bleue $\left( B \right)$.
%
%On pratique l'expérience aléatoire suivante : on tire une boule, on la remet, on tire une deuxième boule.
%
%Loi de probabilité : 
%
%\begin{center}
% 
%  \renewcommand{\arraystretch}{1.8} 
%  \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|Z|Z|Z|Z|Z|Z|Z|Z|Z|}
%	\cline{1-10}
%	\textbf{éventualités}  & $\coo{R}{B}$  & $\coo{R}{V}$  & $\coo{R}{R}$  &   $\coo{V}{B}$  &
%	$\coo{V}{R}$  & $\coo{V}{V}$  & $\coo{B}{R}$  & $\coo{B}{V}$  &  $\coo{B}{B}$ \\
%	\cline{1-10}
%	 $p_i$  &   &  &   &   &  &&&& \\
%	\cline{1-10}
%  \end{tabularx}
%\end{center}
%
%
%\textbf{Règle du jeu :} 
%
%\begin{itemize}
%  \item à toute éventualité contenant une boule rouge, on associe $1$ point ;
%  \item à toute éventualité contenant une boule verte, on associe $2$ points ;
%  \item à toute éventualité contenant une boule bleue, on associe $-3$ points.
%\end{itemize}
%
%Soit $X$ la variable aléatoire, qui à une éventualité associe le nombre de points obtenus.\\
%
%\begin{center}
% 
%  \renewcommand{\arraystretch}{1.8} 
%  \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|Z|Z|Z|Z|Z|Z|Z|Z|Z|}
%	\cline{1-10}
%	   $\left( A \pv B  \right) $ & $\coo{R}{B}$  & $\coo{R}{V}$  & $\coo{R}{R}$  &   $\coo{V}{B}$  &
%	$\coo{V}{R}$  & $\coo{V}{V}$  & $\coo{B}{R}$  & $\coo{B}{V}$  &  $\coo{B}{B}$ \\
%	\cline{1-10}
%	 $X\big( \left( A \pv B \right) \big)$  &   &  &   &   &  &&&& \\
%	\cline{1-10}
%  \end{tabularx}
%\end{center}
%\bigskip
%\bigskip
%\smallskip
%
%
%\acompleter \\
%
%\acompleter \\
%
%\acompleter \\
%
%\acompleter \\
%
%\acompleter \\
%
%\acompleter \\
%
%\acompleter \\
%
%\acompleter \\
%
%\acompleter \\
%
%Loi de probabilité de $X$ :
%
%\begin{center}
% 
%  \renewcommand{\arraystretch}{1.8} 
%  \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|Z|Z|Z|Z|Z|Z|}
%	\cline{1-7}
%	$X=k$  & $-6$  &  &   &   & & \\
%	\cline{1-7}
%	 $p(X=k)$  &   &  &   &   &  & \\
%	\cline{1-7}
%  \end{tabularx}
%\end{center}
%\bigskip
%
%
%%\textbf{ L'espérance de $X$} est \acompleter \\
%
%Un joueur perd la partie si son nombre de points est négatif.
%
%On considère l'événement $A$ : \og le joueur perd la partie \fg.\\
%
%$P(A)=$\acompleter \\ 
%
%
%
%
%
%
%
%
%\subsection{Espérance, variance, écart-type }
%
%Soit $X$ une variable aléatoire de loi de probabilité $\left( x_{i}\pv p_{i} \right)$, $1\leq i \leq
%n$. 
%%une loi de probabilité où les résultats possibles (les éventualités) $ x_i$ sont des réels.
%
%\vspace{-.5cm}
%\begin{center}
%  {\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|}
%	\hline
%	\quad  $x_1 \quad  $     &\quad   $x_2 \quad  $    & $\cdots\cdots$    &\quad   $x_n \quad  $   \\
%	\hline
%	$p_1$  & $p_2$  & $\cdots\cdots$    & $p_n$  \\
%	\hline
%  \end{tabular}}
%\end{center}
%\begin{itemize}
%  \item L'\textbf{espérance de \boldmath{$ X$} } est le nombre $E\left( X \right)$ défini par :
%	\[E\left( X \right)=p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n= \sum_{i=1}^n p_{i}x_{i}.\]
%  \item La \textbf{variance de \boldmath{$X$} }  est le nombre $V\left( X \right)$ défini par :
%	\[V\left( X \right)=\sum_{i=1}^n p_i\left( x_i-E\left( X \right) \right)^2=\sum_{i=1}^n
%	p_ix_i^2-\left( E\left( X \right) \right)^2.\]
%  \item L'\textbf{écart-type de \boldmath{$X$} } est le nombre noté $\sigma\left( X \right)$ défini par 
%	\[\sigma\left( X \right)=\sqrt{V\left( X \right)}.\]
%\end{itemize}
%
%\proprc{}{
%Soit $X$ une variable aléatoire de loi de probabilité $\left( x_{i}\pv p_{i} \right)$, $1\leq i \leq
%n$.
%
%Soit $\lambda  $ et $\mu$ des réels. On a 
%\[E\left( \lambda X+ \mu \right)= \lambda E\left( X \right)+ \mu \quad \text{ et } \quad V\left(
%\lambda X \right)= \lambda^2V\left( X \right).  \]
%
%}
%
\section{Probabilités conditionnelles}
\subsection{conditionnement}

Soit $\Omega$ un univers sur lequel est défini une probabilité $P$.

$A$ et $B$ sont deux événements de $\Omega$. 
\medskip

\defic{}{

Si $P(B)\ne 0$, on appelle probabilité de $A$ sachant $B$ le quotient $\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

On note $P_{\text{B}}(\text{A})$ cette probabilité :
\[P_{\text{B}}(\text{A})= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\]
}


\begin{remff}\mbox{}
  \acompleter \\

  \acompleter \\ 
  
\end{remff}

\proprc{}{
  \medskip
Si $P(B)\ne 0$, pour tout événement $A$,
\begin{enumerate}[(i)]
  \item  $0\leq P_{\text{B}}(\text{A})\leq 1$ ;
  \item $P_{\text{B}}(\text{A})+P_{\text{B}}(\overline{A})=1$.
\end{enumerate}
}
  \vspace{-0.2cm}

\begin{demf}
  \acompleter \\

  \acompleter \\
%\newpage

  \acompleter \\

  %\makebox[0cm]{\phantom{$a^b$}}\acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter  
  \vspace{-0.2cm}
\end{demf}
  \vspace{-0.5cm}

\begin{exempleff}\mbox{} 

  \textbf{1.} On tire une carte d'un jeu de 32 cartes : c'est un trèfle. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un roi ?

  $\Omega$ : les 32 cartes ; $R$ : \og obtenir un roi \fg ; $T$ : \og obtenir un trèfle \fg.\\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 
  \smallskip

  \textbf{2.} Dans une population, la probabilité de naissance d'un garçon est $0,52$. On sait que
  $2$\% des filles et $1$\% des garçons présentent à la naissance une luxation congénitale de la hanche.

  Quelle est la probabilité que l'enfant soit une fille qui présente une luxation ?\\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 

\end{exempleff}

\subsection{Indépendance}

\subsubsection{Définition}

$\Omega $ est un univers muni d'une loi de probabilité $P$ :
\medskip

\defic{}{
\medskip

Deux événements $A$ et $B$ sont dit indépendants lorsque 
\[P(A\cap B)=P(A)\times P(B).\]

}


\begin{exempleff}\mbox{}

  On tire une carte d'un jeu de 32 cartes.

  \setlength{\columnseprule}{0pt}
  \begin{multicols}{3}
  \begin{itemize}
	\item $A$ : \og la carte est rouge \fg ;
	\item  $B$ : \og la carte est un c\oe ur \fg ;
	\item $C$ : \og la carte est un roi \fg.
  \end{itemize}
  \end{multicols}

  \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
	\item $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
	\item $A$ et $C$ sont-ils indépendants ?
	\item $B$ et $C$ sont-ils indépendants ?
	\item On effectue cinq tirages successifs avec remise de la carte. Quelle est la probabilité d'avoir cinq cartes rouges ?
  \end{enumerate}
  \end{multicols}

  \acompleter \\ 

  \acompleter \\ 

  \acompleter \\ 

  \acompleter \\ 

  \acompleter \\ 

  \acompleter \\ 

  \acompleter \\ 

  \acompleter \\ 

  \acompleter \\ 

  \acompleter \\ 

  \acompleter \\ 

  \acompleter \\ 


\end{exempleff}

\proprc{}{
  \medskip
Soient $A$ et $B$ deux événements de $\Omega$ avec $P(B)\ne 0$.

\centerline{$A$ et $B$ sont indépendants $\ssif$ $P_{\text{B}}(\text{A})=P(A)$}
}


\begin{demf}
  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 

  \vspace{-0.2cm}
\end{demf}

\theoc{}{
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
}

\begin{demf}
  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\ 

  \acompleter \\ 

  \acompleter 
  \vspace{-0.2cm}
\end{demf}
\subsection{Formule des probabilités totales}

\defic{}{
Dans un univers $\Omega$, on appelle \textbf{système complet d'événements} un ensemble d'événements
de probabilités non nulles, deux à deux disjoints, dont la réunion est égale à $\Omega$.
}

\begin{remff}\mbox{}
  \begin{itemize}
	\item 
  Un système complet d'événements (langage des probabilités) est \textbf{une partition de {\boldmath
  $\Omega$}} (langage des ensembles).
	\item 
 Les événements $A_1, A_2, \cdots, A_n$ de probabilité non nulle forment un système complet d'événements lorsque 
$A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n=\Omega$ et pour tous  $1\leq i \leq n$,
$1\leq j \leq n$, $A_i\cap A_j=\varnothing$  si $i \ne j$.
  \end{itemize}
\end{remff}

\subsubsection{Avec trois événements}

Soient $A$, $B$ et $C$ trois événements qui forment un système complet d'événements de l'univers
$\Omega$, c'est à dire tels que :\\

\begin{itemize}
  \item $\Omega=$\makebox[4cm]{\acompleter  }\\
  \item \makebox[8cm]{\acompleter  }\\
  \item \makebox[8cm]{\acompleter  }\\
  \item \makebox[8cm]{\acompleter  }\\

\end{itemize}
et $F$ un événement quelconque.\\

%\vspace{5cm}

$P(F)=$\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

Donc $P(F)=$\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\subsubsection{Généralisation}

\theoc{}{
Soient $A_1, A_2, \cdots, A_n$ un système complet d'événements de l'univers $\Omega$.


Pour tout événement $F$ de l'univers $\Omega$:
 \[\begin{array}{rcl}
 P(F) & = & P(F\cap A_1)+\cdots +P(F\cap A_n)  \\
  & = &  P(A_1) P_{A_1}(F)+ \cdots +P(A_n)P_{A_n}(F) \\
  \end{array}
\] 
}
\medskip

\begin{exempleff}
  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\ 

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 

\end{exempleff}


\section{Exercices}

\input{insert-exercices}

\end{document}

