\documentclass[a4paper,oneside]{book}
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\usepackage{miseenpage}
\lhead{Première générale}
\chead{}\rhead{ Second degré }
\renewcommand{\headrulewidth}{1.6pt}
\setstretch{1.1}
\def\interlignespacing{1.1}
\setcounter{secnumdepth}{5}



\begin{document}
%\large

\titre{Second degré}{}

\section{Définition }




\defic{}{
On appelle fonction polynôme du second degré, ou fonction trinôme du second degré, toute fonction
$f$ définie sur $\GR$ dont  l'expression peut s'écrire : 
\[f\left( x \right)=ax^2+bx+c\]
où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\ne0$.
}

\begin{exempleff}
  \begin{itemize}
	\item $f : x \mapsto x^2$ \acompleter \\ 
	\item $f : x \mapsto 4x^2+5x-7$ \acompleter \\ 
	\item $f : x \mapsto 4\left( x-2 \right)^2+5-4x^2$
	  \acompleter \\

	  \acompleter\\ 
	\item $f : x \mapsto -3\left( x-1  \right)\left( 2+x \right)$ 
	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\
	\item $f : x \mapsto \left( x+1 \right)^3-x^3$ \acompleter \\

	  \acompleter  \\

	  \acompleter 
  \end{itemize}
\end{exempleff}

\begin{remff}
  Au lieu de parler de fonction polynôme du second degré ou de fonction trinôme du second degré
  $x \mapsto ax^2+bx+c$ on dit, plus simplement, polynôme $ax^2+bx+c$ ou trinôme $ax^2+bx+c$.
\end{remff}

\section{Trois formes particulières pour l'expression d'un trinôme du second degré}

\subsection{Forme développée (ou réduite)}

C'est la forme qu'on a utilisé pour définir les fonctions polynômes  du second degré :
\[ax^2+bx+c, \ a\ne 0.\]

\subsection{ Forme canonique}
Cette forme a été présentée en seconde.

\proprc{et définition}{
Toute fonction polynôme du second degré définie sur $\GR$ par 
\[f\left( x \right)=ax^2+bx+c\] peut s'écrire de manière unique sous la forme 
\[f\left( x \right)=a\left( x-\alpha \right)^2+\beta\]
où 
\[\alpha = -\dfrac{b}{2a} \quad \text{ et } \quad \beta = -\dfrac{\Delta }{4a}.\]
Le nombre réel $\Delta=b^2-4ac$ est appelé \textbf{discriminant} de $f$.

Cette écriture est appelée \textbf{forme canonique} de $f$.

}

\begin{demf}
  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter  
\end{demf}


\begin{exempleff}
  Mettre sous forme canonique le trinôme suivant :  $f\left( x \right)=2x^2+3x+5$.\\

  \begin{itemize}
	\item Méthode directe : \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\
	\item Avec les formules : \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter 
  \end{itemize}
\end{exempleff}

%\newpage
\vspace{-1cm}

\subsection{Forme factorisée}

Cette forme n'existe pas toujours et fera l'objet d'une étude détaillée plus loin dans ce chapitre.

Voici un exemple, pour tout $x\in \GR$,
\[f\left( x \right)=2\left( x-1 \right)\left( x+2 \right).\]

\acompleter \\

\acompleter  
\bigskip

\begin{savoirfaire}[Utiliser un logiciel de calcul formel]

  Pour tout $x\in\GR$, $f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{578}}{56}x^2+\dfrac{89}{\sqrt{3}}x+7895$.
  \`A l'aide un logiciel de
  calcul formel,
  \begin{enumerate}
	\item mettre $f\left( x \right)$ sous forme canonique ;\\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter\\  
	\item Résoudre l'équation $f\left( x \right)=0$.\\

	  \acompleter 
  \end{enumerate}
  
\end{savoirfaire}


\begin{savoirfaire}[Passer de la forme canonique à la forme factorisée]

  Mettre les trinôme suivants sous forme factorisée : \acompleter \\ 

  \begin{enumerate}
	\item $f\left( x \right)= -3\left( x-4 \right)^2+27$ \acompleter \\

	  \acompleter \\

	\item $f\left( x \right)= -2\left( x+1 \right)^2-8$ \acompleter \\

	  \acompleter \\

	\item $x \mapsto 3\left(x+2  \right)^2$ \acompleter 
  \end{enumerate}
  
\end{savoirfaire}



\section{Équation du second degré}
\subsection{Résolution de l'équation {\boldmath $ax^2+bx+c=0$, $a\ne0$}}
\defic{}{
On appelle \textbf{racine} d'un polynôme du second degré $f$ toute  solution de l'équation 
\[f\left( x \right)=0.\]
}

\theoc{}{
Soit $\Delta$ le discriminant de l'équation $ax^2+bx+c=0$, on rappelle que $\Delta=b^2-4ac$.

\begin{center}

  \renewcommand{\arraystretch}{1.8}
  \begin{tabular}[t]{|p{2cm}||p{4.5cm}|p{4cm}|p{4cm}| }
	\hline
	Signe de $\Delta$ &Solution $ax^2+bx+c=0$ &Forme factorisée& 
	exemple de graphique dans le cas où $a>0$\\
	\hline
	\hline
	Si $\Delta<0$& pas de solution& 
	&
	\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
	\vspace{0.5cm}
	\begin{center}
	  \begin{pspicture}(-1,-1)(2,1)
		\MesAxes[.6pt,Dx=10,Dy=10]{-1}{-1}{2}{2}
		\psplot[plotpoints=100]{-1}{2}{0.75 x 2 exp x sub 0.5 add  mul }
		\uput{.2}[225](0,0){$O$}
	  \end{pspicture}
	\end{center}
	\\
	\hline
	Si $\Delta=0$& Une seule solution 

	(racine double)

	$x_{0}=-\dfrac{b}{2a}$&
	$a\left( x-x_{0} \right)^2$&
	\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
	\vspace{0.5cm}
	\begin{center}
	  \begin{pspicture}(-1,-1)(2,1)
		\MesAxes[.6pt,Dx=10,Dy=10]{-1}{-1}{2}{2}
		\psplot[plotpoints=100]{-1}{2}{0.75 x 2 exp x sub 0.25 add  mul }
		\uput{.2}[225](0,0){$O$}
		\uput{.2}[270](0.5,0){$x_0$}
		\psdot(0.5 , 0)
	  \end{pspicture}
	\end{center}
	\\
	\hline
	Si $\Delta>0$& deux solutions : %\quad \quad 

	\vspace{0.5em}

	$x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ \quad 

	\vspace{0.5em}

	$x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ 
	& 
	\quad \quad \quad \quad 

	$a\left( x-x_{1} \right)\left( x-x_{2} \right)$&
	%\mbox{}
	\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
	\vspace{0.5cm}
	\begin{center}
	  \begin{pspicture}(-1,-1)(2,1)
		\MesAxes[.6pt,Dx=10,Dy=10]{-1}{-1}{2}{2}
		\psplot[plotpoints=100]{-1}{2}{0.75 x 2 exp x sub 0.75 sub mul }
		\uput{.2}[45](0,0){$O$}
		\uput{.2}[260](-0.5,0){$x_1$}
		\uput{.2}[280](1.5,0){$x_2$}
		\psdot(-0.5 , 0)
		\psdot(1.5 , 0)
	  \end{pspicture}
	\end{center}
	\\
	\hline
  \end{tabular}
\end{center}
}



\begin{demf}
  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

    \acompleter \\

  \acompleter 

  % deux lignes rajoutées pour la facto.

\end{demf}

\bigskip


\begin{savoirfaire}[Résoudre une équation du second degré]
  
  Résoudre les équations du second degré suivantes :\\

  \begin{itemize}
	\item $-2x^2-4x-10=0$ \acompleter \\

	  \acompleter \\


	\item $x^2-2x-2=0$ \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	\item $2x^2+5x=0$ \acompleter \\

	  \acompleter \\

	\item $5x^2-30x+45=0$ \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\

	  \acompleter \\
  \end{itemize}

\end{savoirfaire}

\subsection{Conséquences  : signe de {\boldmath $f\left( x \right)=ax^2+bx+c$, $a\ne0$}}

\begin{itemize}
  \item 1\up{er} cas : $\Delta >0$ \acompleter \\

	\acompleter \\


	\begin{center}
	  \setlength{\TabTitreL}{3.5cm}
	  \begin{MonTableau}{4}{12}{1}

		\TabTitreFerme
		%\TabEfface{2}
		\TabFerme

		\TabNewCol{0}
		\rTabPut{B}{-1.7}{.25}{$x$}
		\rTabPut{B}{-1.7}{.25}{$a$}
		\rTabPut{B}{-1.7}{.25}{$x-x_{1}$}
		\rTabPut{B}{-1.7}{.25}{$x-x_{2}$}
		\rTabPut{B}{-1.7}{.25}{$a(x-x_{1})(x-x_{2})$}

		\TabNewCol{0}
		\rTabPut{Bl}{.15}{.25}{$-\infty$}

		\TabNewCol{.33}
		\rTabPut{B}{0}{.25}{$x_{1}$}
		\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{}
		\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{}
		\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{}
		\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{}

		\TabNewCol{.66}
		\rTabPut{B}{0}{.25}{$x_2$}
		\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{}
		\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{}
		\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{}
		\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{}


		\TabNewCol{1}
		\rTabPut{Br}{-.15}{.25}{$+\infty$}


	  \end{MonTableau} 
	\end{center}

	\bigskip

  \item 2\up{e} cas : $\Delta =0$ \acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

  \item 3\up{e} cas : $\Delta < 0$ \acompleter \\

	\acompleter \\

	\acompleter \\

\end{itemize}


\proprc{}{
Soit $f$ la fonction trinôme du second degré définie pour tout $x\in\GR$ par :
\[f\left( x \right)=ax^2+bx+c.\]
(\textbf{sgn.} signifie \textbf{signe de })

\begin{center}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.8}
  \begin{tabular}[t]{|p{2cm}||p{5.5cm}|p{3cm}|p{3cm}| }
	\hline
	Signe de $\Delta$ & Tableau  & $a>0$ & $a<0$\\
	\hline
	\hline
	Si $\Delta>0$& 
	\begin{center}
	  %\setlength{\TabTitreL}{1.8cm}
	  \begin{MonTableau}{1}{4}{1.5}
		\TabTitreFerme
		\TabFerme
		\TabNewCol{0}
		\rTabPut{B}{-0.75}{.25}{$x$}
		\rTabPut{B}{-0.75}{.25}{\TabTitre{sgn.}{f(x)} }
		%\rTabPut{B}{-1.5}{.25}{$a(x-x_{1})(x-x_{2})$}
		\TabNewCol{0}
		\rTabPut{Bl}{.15}{.25}{$-\infty$}
		\TabNewCol{.33}
		\rTabPut{B}{0}{.25}{$x_{1}$}
		\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{\TabZco}
		\TabNewCol{.66}
		\rTabPut{B}{0}{.25}{$x_2$}
		\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{\TabZco}
		\TabNewCol{1}
		\rTabPut{Br}{-.15}{.25}{$+\infty$}
		\rput(.167,.5){\TabTitre{sgn. }{a}}
		\rput(.5,.5){\TabTitre{sgn. }{-a}}
		\rput(.833,.5){\TabTitre{sgn. }{a}}
	  \end{MonTableau} 
	\end{center}
	& 
	\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
	\vspace{0.5cm}
	\begin{center}
	  \scalebox{0.8}{
	  \begin{pspicture}(-1,-1)(2,1)
		\MesAxes[.6pt,Dx=10,Dy=10]{-1}{-1}{2}{2}
		\psplot[plotpoints=100]{-1}{2}{0.75 x 2 exp x sub 0.75 sub mul }
		\uput{.2}[45](0,0){$O$}
		\uput{.2}[260](-0.5,0){$x_1$}
		\uput{.2}[280](1.5,0){$x_2$}
		\psdot(-0.5 , 0)
		\psdot(1.5 , 0)
	  \end{pspicture}}
	\end{center}
	&
	\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
	\vspace{0.5cm}
	\begin{center}
	  \scalebox{0.8}{
	  \begin{pspicture}(-1,-1)(2,1)
		\MesAxes[.6pt,Dx=10,Dy=10]{-1}{-1}{2}{2}
		\psplot[plotpoints=100]{-1}{2}{-0.75 x 2 exp x sub 0.75 sub mul }
		\uput{.2}[45](0,0){$O$}
		\uput{.2}[100](-0.5,0){$x_1$}
		\uput{.2}[80](1.5,0){$x_2$}
		\psdot(-0.5 , 0)
		\psdot(1.5 , 0)
	  \end{pspicture}}
	\end{center}
	\\
	\hline
	Si $\Delta=0$
	& 
	\begin{center}
	  %\setlength{\TabTitreL}{1.8cm}
	  \begin{MonTableau}{1}{4}{1.5}
		\TabTitreFerme
		\TabFerme
		\TabNewCol{0}
		\rTabPut{B}{-0.75}{.25}{$x$}
		\rTabPut{B}{-0.75}{.25}{\TabTitre{sgn.}{f(x)} }
		%\rTabPut{B}{-1.5}{.25}{$a(x-x_{1})(x-x_{2})$}
		\TabNewCol{0}
		\rTabPut{Bl}{.15}{.25}{$-\infty$}

		\TabNewCol{.5}
		\rTabPut{B}{0}{.25}{$x_{0}$}
		\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{\TabZco}
		\TabNewCol{1}
		\rTabPut{Br}{-.15}{.25}{$+\infty$}
		\rput(.25,.5){\TabTitre{sgn. }{a}}
		\rput(.75,.5){\TabTitre{sgn. }{a}}
	  \end{MonTableau} 
	\end{center}
	&
	\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
	\vspace{0.5cm}
	\begin{center}
	  \scalebox{0.8}{
	  \begin{pspicture}(-1,-1)(2,1)
		\MesAxes[.6pt,Dx=10,Dy=10]{-1}{-2}{2}{2}
		\psplot[plotpoints=100]{-1}{2}{0.75 x 2 exp x sub 0.25 add  mul }
		\uput{.2}[225](0,0){$O$}
		\uput{.2}[270](0.5,0){$x_0$}
		\psdot(0.5 , 0)
	  \end{pspicture}}
	\end{center}
	&
	\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
	\vspace{0.5cm}
	\begin{center}
	  \scalebox{0.8}{
	  \begin{pspicture}(-1,-2)(2,1)
		\MesAxes[.6pt,Dx=10,Dy=10]{-1}{-2}{2}{2}
		\psplot[plotpoints=100]{-1}{2}{-0.75 x 2 exp x sub 0.25 add  mul }
		\uput{.2}[225](0,0){$O$}
		\uput{.2}[270](0.5,0){$x_0$}
		\psdot(0.5 , 0)
	  \end{pspicture}}
	\end{center}
	\\
	\hline
	Si $\Delta<0$
	&
	\begin{center}
	  %\setlength{\TabTitreL}{1.8cm}
	  \begin{MonTableau}{1}{4}{1.5}
		\TabTitreFerme
		\TabFerme
		\TabNewCol{0}
		\rTabPut{B}{-0.75}{.25}{$x$}
		\rTabPut{B}{-0.75}{.25}{\TabTitre{sgn.}{f(x)} }
		%\rTabPut{B}{-1.5}{.25}{$a(x-x_{1})(x-x_{2})$}
		\TabNewCol{0}
		\rTabPut{Bl}{.15}{.25}{$-\infty$}

		\TabNewCol{1}
		\rTabPut{Br}{-.15}{.25}{$+\infty$}
		\rput(0.5,.5){\TabTitre{sgn. }{a}}
	  \end{MonTableau} 
	\end{center}
	&
	\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
	\vspace{0.5cm}
	\begin{center}
	  \scalebox{0.8}{
	  \begin{pspicture}(-1,-2)(2,1)
		\MesAxes[.6pt,Dx=10,Dy=10]{-1}{-2}{2}{2}
		\psplot[plotpoints=100]{-1}{2}{0.75 x 2 exp x sub 0.5 add  mul }
		\uput{.2}[225](0,0){$O$}
	  \end{pspicture}}
	\end{center}
	&
	\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
	\vspace{0.5cm}
	\begin{center}
	  \scalebox{0.8}{
	  \begin{pspicture}(-1,-2)(2,1)
		\MesAxes[.6pt,Dx=10,Dy=10]{-1}{-2}{2}{2}
		\psplot[plotpoints=100]{-1}{2}{-0.75 x 2 exp x sub 0.5 add  mul }
		\uput{.2}[225](0,0){$O$}
	  \end{pspicture}}
	\end{center}
	\\
	\hline
  \end{tabular}
\end{center}
}

\subsection{ Somme et produit des racines}

\proprc{}{
Soit $f\colon x \mapsto ax^2+bx+c$ une fonction trinôme du second de degré qui admet deux racines
$x_{1}$ et $x_{2},$ éventuellement confondues ( $\Delta \geq 0$).

Si $s$ et $p$ sont la somme et le produit des racines, alors 
\begin{itemize}
  \item $s=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$\pv
  \item $p=x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}.$
\end{itemize}
}

\begin{demf}
  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 

\end{demf}

\proprc{}{
Deux réels ont pour somme $s$ et produit $p$ si, et seulement si, ils sont racines de l'équation
$x^2-sx+p=0.$
}
\begin{demf}
  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter \\

  \acompleter 

\end{demf}



%\newpage

\begin{savoirfaire}[Résoudre une inéquation du second degré]
  
Résoudre sur $\GR$ l'inéquation \[\dfrac{-3x^2+3x+6}{x^2-4x+2}\geq 0.\]

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter 
\end{savoirfaire}

%\newpage

\begin{savoirfaire}[Écrire un algorithme]
  
  \'Ecrire une fonction python \textrm{trinome(a,b,c)} qui résout l'équation du second degré 

  $ax^2+bx+c=0, \ a\ne 0.$ \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter \\

\acompleter 
\end{savoirfaire}
%\newpage

%\section{Exercices}
\input{exercices}
\end{document}

