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\lhead{Première spé math}
\chead{}\rhead{ Trigonométrie}
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\setstretch{1.1}
\def\interlignespacing{1.1}
\setcounter{secnumdepth}{5}
\def\drapeau{1}
\def\deslignescor{0}


\begin{document}

\titre{Trigonométrie}{}

\section{Cercle trigonométrique}

$\oij$ est un repère orthonormé. $I$ et $J$ sont les points tels que $\vecteur{OI}=\vec{\imath}$ et
$\vecteur{OJ}=\vec{\jmath}$.

  \subsection{Définition}

  \defic{}{
  Dans un repère orthonormé $\oij$, on appelle \textbf{cercle trigonométrique} le cercle de centre
  $O$, de rayon $1$, orienté dans le sens direct (le sens inverse des aiguilles d'une montre) et sur
  lequel on choisit une origine, le point $I$.
  }


  \begin{center}
	\psset{unit=0.8,xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
	\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=8,Dy=8]{-4}{-4}{4}{4}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \pscircle(0 ,0){3}
	  \uput{.2}[225](0,0){$0$}
	\end{pspicture}
  \end{center}

  \begin{remff}
	Le repère $\oij$ est \textbf{direct} lorsqu'on se déplace sur le cercle trigonométrique de
	$I$ vers $J$ selon le trajet le plus court dans le sens direct :

  \begin{center}
	\psset{unit=0.8,xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
	\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=8,Dy=8]{-4}{-4}{4}{4}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \pscircle(0 ,0){3}
	  \uput{.2}[225](0,0){$0$}
	\end{pspicture}
  \end{center}
  \end{remff}

  \newpage

  \begin{exempleff}
	\bigskip

	\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
	\begin{pspicture}(0,0)(15,3)
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \MaGrille[5,xunit=0.5,yunit=0.5]{0}{0}{34}{6}
	\end{pspicture}
	%\vspace{3cm}
  \end{exempleff}

  \subsection{Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique}
   \bigskip

%  \begin{center}
%	\psset{unit=1.5cm}
%	\begin{pspicture}(-2.5,-2)(1,5)
%	  \MesAxes[.6pt,Dx=4,Dy=1,ticksize=3pt,labelFontSize=\scriptstyle]{-2.5}{-2}{0.5}{5}
%	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
%	  %\MaGrille[5,xunit=,yunit=]{}{<++>}{<++>}{<++>}
%	  \uput{.1}[45](0,0){\small $I$}
%	  \uput{.1}[45](-1,1){\small $J$}
%	  \uput{.1}[45](-1,0){\small $O$}
%	  \pscircle(-1, 0){1}
%	  \psline{->}(-1, -1.5)(-1, 1.5)
%	  \psline(0, 3.14)(0.1, 3.14)
%	  \uput{.1}[0](0.1,3.14){\small $\pi$}
%	  \psline(0, 1.57)(0.1, 1.57)
%	  \uput{.1}[0](0.1,1.57){\small $\frac{\pi}{2}$}
%	  \psline(0, -1.57)(0.1, -1.57)
%	  \uput{.1}[0](0.1,-1.57){\small $-\frac{\pi}{2}$}
%	  \psline(0, 4.71)(0.1, 4.71)
%	  \uput{.1}[0](0.1,4.71){\small $\frac{3\pi}{2}$}
%	\end{pspicture}
%  \end{center}
\begin{center}
       \psset{unit=2cm} 
   \begin{pspicture}(-1,-3.5)(1,3.5)
      \pscircle(0,0){1}
	  \psarc{->}(0,0){1.5}{110}{140}
	  \uput{0.1}[90]{0}(-0.9,1.2){\textcircled{$+$}}

      \psline{-}(-1,0)(0,0)
      \psline{->}(0,0)(0,1)
      \psline{-}(-1.3,0)(1.3,0)
      \psline{-}(0,-1)(0,0)

      \psline{-}(1,-3.55)(1,3.55)
	  \psdot(1, 3.14)
	  \psdot(1, -3.14)
	  \uput{0.1}[0]{0}(1,3.14){$\pi$}
	  \uput{0.1}[45]{0}(1,-3.14){$-\pi$}

      \psline{->}(0,0)(1,0)
      \psline{-}(0,-1.3)(0,1.3)
%      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{-}(0.5,0)(0.5,0.87)
%      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{-}(0,0.87)(0.5,0.87)
%      \psline[linestyle=dashed,linecolor=red]{-}(0,0)(0.5,0.87)
%      \psline[linestyle=dashed,linecolor=red]{-}(0,0)(1.3, 2.252)
%      \psarc[linecolor=red]{->}(0,0){0.3}{0}{60}
	  % {espace}[angle]{rotation}(x,y){objet}
	  \uput{0.1}[45]{0}(1,0){$I$}
	  \uput{0.1}[45]{0}(0,1){$J$}
	  \uput{0.1}[225]{0}(0,0){$O$}
	  %\uput{0.1}[315]{0}(1,1.732){$T$}

%	  \psdot(0.5, 0.866)
%	  \psdot(1, 0)
%	  \psdot(1, 1.73)
%      \rput(0.6,1.05){\textcolor{red}{$M$}}
%      \rput(0.35,0.2){\textcolor{blue}{$x$}}
%      \rput(0.5,-0.21){\textcolor{blue}{$\cos x$}}
%      \rput(-0.23,0.75){\textcolor{blue}{$\sin x$}}
%      \rput(-0.1,-0.1){$O$}
      %\rput(-0.1,0.5){$\V{j}$}
      %\rput(0.62,0.15){$\V{i}$}
   \end{pspicture}

\end{center}

  \bigskip

  Par le procédé d'enroulement de la droite numérique autour du cercle trigonométrique,
  \begin{itemize}
	\item à tout point de la droite, d'abscisse $x$, correspond un unique point $M$,
	\item  tout point du cercle est associé à une infinité de point de la droite numérique.
  \end{itemize}

  \bigskip

  \proprc{}{
  Si  $x$ est un réel et $M$ le point du cercle trigonométrique associé au réel $x$, alors le point
  $M$ est associé à tous les réels $x$ de la forme $x+k\times2\pi$, où $k\in\GZ$.
  }

  \begin{exempleff}
	D'après ce qui précède, à $x=\dfrac{563}{6}\pi$ correspond un point $M$ sur le cercle trigonométrique.
	Trouvons la valeur $x'$ qui correspond aussi à $M $ et telle que $x' \in\Intof{-\pi}{\pi}.$\\

	\deslignes{4}\\

	Mêmes questions avec $x=-\dfrac{212}{3}\pi$ et $x=\dfrac{148}{3}\pi.$
	\deslignes{6}
  \end{exempleff}

  \vspace{-0.2cm}
  \subsection{Le radian}
  \defic{}{
  Lorsque l'arc  $\wideparen{MN}$  d'un cercle de rayon $R$ et de centre $O$ a pour longueur
  $R$ alors l'angle $\widehat{MON}$ vaut $1$ radian.
  }


  \vspace{-0.8cm}

  \begin{center}

	\setlength{\columnseprule}{0pt}	
	\begin{multicols}{2}

	  {
	\psset{unit=0.6,xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
	\begin{pspicture}(-4,-3)(4,5)
	  %\MesAxes[.6pt,Dx=8,Dy=8]{-4}{-4}{4}{4}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \psline(0, 0)(3, 0)
	  \psline(0, 0)(1.620906, 2.5244)
	  \pscircle(0 ,0){3}
	  \uput{.2}[225](0,0){$O$}
	\end{pspicture}}

	{
	\psset{unit=0.8,xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
	\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
	  %\MesAxes[.6pt,Dx=8,Dy=8]{-4}{-4}{4}{4}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \psline(0, 0)(3, 0)
	  \psline(0, 0)(1.620906, 2.5244)
	  \pscircle(0 ,0){3}
	  \uput{.2}[225](0,0){$O$}
	\end{pspicture}}
  \end{multicols}
  \end{center}

  \textbf{Conversion degré-radian}
  \medskip

\begin{center}
  \renewcommand{\arraystretch}{2} 
  \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|cY{8}}
 \cline{1-9}
  mesure en degré&360$^{\circ}$
  &180$^{\circ}$&90$^{\circ}$&60$^{\circ}$&45$^{\circ}$&30$^{\circ}$&1$^{\circ}$&$\dfrac{180}{\pi}^{\circ}$\\
 \cline{1-9}
  en radian&                &     &  &  &  &  &  &        \\
 \cline{1-9}
\end{tabularx}
\end{center}

  \begin{savoirfaire}[Manipuler des radians] 

  Convertir en radian ou en degré chacun de angles suivants :

  \begin{enumerate}
	\item $150\up{o}$ \acompleter \\
	\item $\dfrac{4\pi}{3}$ rad \acompleter  \\
	\item $75\up{o}$ \acompleter \\
	\item $\dfrac{7\pi}{6}$ \acompleter \\
	%\item $315\up{o}$ \acompleter \\ 
  \end{enumerate}
  \end{savoirfaire}


  \section{Cosinus et sinus d'un nombre réel}

  \subsection{Définitions }

\defic{}{
  Soit $x$ un réel et $M$ le point du cercle trigonométrique qui lui correspond.
  \begin{itemize}
    \item On appelle cosinus de $x$, l'abscisse du point $M$. On le note $\cos x$.
    \item  On appelle sinus de $x$, l'ordonnée du point $M$. On le note $\sin x$.
  \end{itemize}
  On définit ainsi la fonction cosinus~: $x\mapsto \cos x$ et la fonction sinus $x\mapsto \sin x$.
}


  \begin{center}
	\psset{unit=0.8,xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
	\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=8,Dy=8]{-4}{-4}{4}{4}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  \pscircle(0 ,0){3}
	  \uput{.2}[225](0,0){$0$}
	\end{pspicture}
  \end{center}

  \begin{exempleff}
	\mbox{}
	\begin{itemize}
	  \item \acompleter \\

		\acompleter \\

	  \item \acompleter \\

		\acompleter \\

		\acompleter \\

		\acompleter \\ 

		\acompleter \\ 

		\acompleter 
	\end{itemize}
  \end{exempleff}

  %\vspace{-0.5cm} 

  \textbf{Valeurs remarquables}

  \begin{center}
	  \renewcommand{\arraystretch}{2} 
  \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|cY{5}}
 \cline{1-6}
$x$& $0$  & $\dfrac{\pi}{6}$  & $\dfrac{\pi}{4}$  & $\dfrac{\pi}{3}$  & $\dfrac{\pi}{2}$  \\
 \cline{1-6}
  $\cos\left( x \right)$ &   &   &   &   &   \\
 \cline{1-6}
$\sin\left( x \right)$   &   &   &   &   &   \\
 \cline{1-6}

\end{tabularx}

  \end{center}

\begin{center}

   \psset{unit=1.2cm} 
   \begin{pspicture}(-2.5,-4)(3,4)
      \pscircle(0,0){3}
      \psline{-}(-3,0)(3,0)
      \psline{-}(0,-3)(0,3)
      \pspolygon[linestyle=dashed,linecolor=blue](2.6,1.5)(-2.6,1.5)(-2.6,-1.5)(2.6,-1.5)
      \pspolygon[linestyle=dashed,linecolor=red](2.1,2.1)(-2.1,2.1)(-2.1,-2.1)(2.1,-2.1)
      \pspolygon[linestyle=dashed,linecolor=green](1.5,2.6)(-1.5,2.6)(-1.5,-2.6)(1.5,-2.6)
      %\pspolygon(0,0)(1.5,2.6)(3,0)
      \rput(3.3,0){$0$}
      \rput(3,1.5){\textcolor{blue}{$\dfrac{\pi}{6}$}}
      \rput(2.4,2.5){\textcolor{red}{$\dfrac{\pi}{4}$}}
      \rput(1.6,3.1){\textcolor{green}{$\dfrac{\pi}{3}$}}
      \rput(0,3.5){$\dfrac{\pi}{2}$}
      \rput(-3,1.5){\textcolor{blue}{$\dfrac{5\pi}{6}$}}
      \rput(-2.4,2.5){\textcolor{red}{$\dfrac{3\pi}{4}$}}
      \rput(-1.6,3.1){\textcolor{green}{$\dfrac{2\pi}{3}$}}
      \rput(-3.5,0){$-\pi$}
      \rput(-3,-1.5){\textcolor{blue}{$\dfrac{7\pi}{6}$}}
      \rput(-2.4,-2.5){\textcolor{red}{$\dfrac{5\pi}{4}$}}
      \rput(-1.7,-3.2){\textcolor{green}{$\dfrac{4\pi}{3}$}}
      \rput(0,-3.5){$\dfrac{3\pi}{2}$}
      \rput(3.1,-1.5){\textcolor{blue}{$\dfrac{11\pi}{6}$}}
      \rput(2.4,-2.5){\textcolor{red}{$\dfrac{7\pi}{4}$}}
      \rput(1.7,-3.2){\textcolor{green}{$\dfrac{5\pi}{3}$}}
      \rput(1.5,0.3){$\frac{1}{2}$}
      \rput(2.1,0.3){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
      \rput(2.6,0.3){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
      \rput(0,0){$0$}
      \rput(-1.5,0.3){$-\frac{1}{2}$}
      \rput(-2.1,0.3){$-\frac{\sqrt{2}}{2}$}
	  \rput(-2.6,0.3){$-\frac{\sqrt{3}}{2}$}
      \rput(-0.15,1.5){$\frac{1}{2}$}
      \rput(-0.15,2.1){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
      \rput(-0.15,2.6){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
      \rput(-0.25,-1.5){$-\frac{1}{2}$}
      \rput(-.250,-2.1){$-\frac{\sqrt{2}}{2}$}
      \rput(-0.25,-2.6){$-\frac{\sqrt{3}}{2}$}
   \end{pspicture}
\end{center}

\subsection{Propriétés}

  \proprc{}{
  \begin{itemize}
	\item Pour tout réel $x$, $-1\leq \cos\left( x \right) \leq 1$ et $-1\leq \sin\left( x
	  \right)\leq 1$.
	\item Pour tout réel $x$, $\cos^2\left( x \right)+\sin^2\left( x \right)=1$.
  \end{itemize}
  }

\proprc{}{
\begin{itemize}
  \item \textbf{Périodicité :}

	Pour tout réel $x$, les points du cercle trigonométrique associés aux réels $x$ et $\left(
	x+2\pi \right)$ sont confondus. Ainsi, on a :
	\[\cos\left( x+2\pi \right)=\cos\left( x \right)\quad \text{ et }\quad \sin\left( x+2\pi
	\right)=\sin\left( x \right).  \]
	On dit que les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont périodiques, de période $2\pi$.
  \item \textbf{Parité :} 

	\begin{itemize}
	  \item La fonction $\cos $ est paire :
         Pour tout réel $x$, 
          \[\cos\left( -x \right)=\cos\left( x \right).\]
		\item La fonction $\sin $ est impaire :
		  Pour tout réel $x$,
		  \[\sin\left( -x \right)=-\sin\left( x \right).\]
	\end{itemize}
   
\end{itemize}
}

\begin{remff} \mbox{}\\
 Graphiquement,~\og la fonction $\cos $ est paire \fg~s'interprète par :~\og sa représentation
 graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées\fg.

 Graphiquement, \og la fonction $\sin $ est impaire \fg s'interprète par : \og sa représentation
 graphique est symétrique par rapport à l'origine\fg.
\end{remff}

%\newpage

Gr\^ace à la périodicité des fonctions $\cos$ et $\sin$, et au fait que l'une est paire et l'autre
impaire, on peut limiter l'étude des variations à l'intervalle $\Intff{0}{\pi}$.
\bigskip

  \begin{center}
	\textbf{Fonction cosinus}
	\bigskip

\begin{MonTableau}{2}{5}{1}
      %\TabShowLabelOn
        \TabTitreFerme
        \TabEfface{1}
        \TabFerme

        \TabNewCol{0}
        \rTabPut{B}{-.75}{.25}{$x$}
        \rTabPut{B}{-.75}{-.30}{\TabTitre{Var.}{\cos}}

        \TabNewCol{0}
        \rTabPut{Bl}{.15}{.25}{$0$}
        %\rTabPut[2]{B}{0}{.40}{$72,2$}
        \rTabPut{Bl}{.15}{0.5}{$1$}

        \TabNewCol{1}
        \rTabPut{Br}{-.15}{.25}{$\pi$}
        \rTabPut{Br}{-.15}{-0.5}{$-1$}

        \TabFleche{B1}{C1}
        \end{MonTableau}
	\bigskip

  \end{center}

  \begin{center}
	\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
	   \begin{pspicture}(-4,-2)(8,2)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-4,-2)(8,2) 
      \psaxes[labels=y]{->}(0,0)(-4,-1.9)(8,2)
      \psplot[plotpoints=100,linewidth=0.05,linestyle=dashed,linecolor=blue]{-4}{0}{x 90 mul 1.57 div cos} 
      \psplot[plotpoints=100,linewidth=0.05,linecolor=blue]{0}{3.14}{x 90 mul 1.57 div cos} 
      \psplot[plotpoints=100,linewidth=0.05,linestyle=dashed,linecolor=blue]{3.14}{8}{x 90 mul 1.57 div cos} 
      \rput(1.57,-0.6){\large $\dfrac{\pi}{2}$}
      \psline(1.57,-0.1)(1.57,0.1)
      \rput(3.15,-0.5){\large $\pi$}
      \psline(3.14,-0.1)(3.14,0.1)
      \rput(-1.5,-0.6){\large $-\dfrac{\pi}{2}$}
      \psline(-1.57,-0.1)(-1.57,0.1)
      \rput(-3.1,0.6){\large $-\pi$}
      \psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)
      %\rput(-6.3,-0.5){\large $-2\pi$}
      %\psline(-6.3,-0.1)(-6.3,0.1)
      \rput(6.4,-0.5){\large $2\pi$}
      \psline(6.3,-0.1)(6.3,0.1)
      \psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)
      %\psline{<->}(-3.14,-1.5)(3.14,-1.5)
      %\psline[linestyle=dashed](-3.14,-1.5)(-3.14,-1)
      %\psline[linestyle=dashed](3.14,-1.5)(3.14,-1)
      %\rput(0,-1.9){\Large $2\pi$}
   \end{pspicture} 

%	\begin{pspicture}(-6,-1.5)(6,1.5)
%	  \MesAxes[.6pt,Dx=3.14,Dy=1]{-6}{-1.5}{6}{1.5}
	  %                                  xBG   yBG    xHD  yHD
	  %\MaGrille[5,xunit=,yunit=<++>]{<++>}{<++>}{<++>}{<++>}
	  %\MesAxesEtiquettes{<++>}{<++>}
%	  \psplot[plotpoints=100]{-6}{6}{x \pCos }
%	  \uput{.2}[225](0,0){$0$}
%	\end{pspicture}

  \end{center}
%\newpage
  \begin{center}
	\textbf{Fonction sinus}
	\bigskip

  \begin{MonTableau}{2}{5}{1}

          \TabTitreFerme
          \TabEfface{1}
          \TabFerme

        \TabNewCol{0}
          \rTabPut{B}{-.75}{.25}{$x$}
          \rTabPut{B}{-.75}{-.30}{\TabTitre{Var.}{\sin}}

        \TabNewCol{0}
          \rTabPut{Bl}{.15}{.25}{$0$}
          \rTabPut{Bl}{.15}{-0.5}{$0$}

        \TabNewCol{.5}
		\rTabPut{B}{0}{.25}{$\frac{\pi}{2}$}
          \rTabPut{B}{0}{.5}{$1$}


        \TabNewCol{1}
          \rTabPut{Br}{-.15}{.25}{$\pi$}
          \rTabPut{Br}{-.15}{-0.5}{$0$}

        \TabFleche{B1}{C1}
        \TabFleche{C1}{D1}



        \end{MonTableau}
  \end{center}
  \begin{center}
	  \begin{pspicture}(-4,-2)(8,2)
      \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-4,-2)(8,2) 
      \psaxes[labels=y]{->}(0,0)(-4,-1.9)(8,2)
      \psplot[plotpoints=100,linewidth=0.05,linestyle=dashed,linecolor=red]{-4}{0}{x 90 mul 1.57 div sin} 
      \psplot[plotpoints=100,linewidth=0.05,linecolor=red]{0}{3.14}{x 90 mul 1.57 div sin} 
      \psplot[plotpoints=100,linewidth=0.05,linestyle=dashed,linecolor=red]{3.14}{8}{x 90 mul 1.57 div sin} 
      \rput(1.57,-0.6){\large $\dfrac{\pi}{2}$}
      \psline(1.57,-0.1)(1.57,0.1)
      \rput(3.15,-0.5){\large $\pi$}
      \psline(3.14,-0.1)(3.14,0.1)
      \rput(-1.57,0.6){\large $-\dfrac{\pi}{2}$}
      \psline(-1.57,-0.1)(-1.57,0.1)
      \rput(-3.1,0.5){\large $-\pi$}
      \psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)
      %\rput(-6.3,0.5){\large $-2\pi$}
      %\psline(-6.3,-0.1)(-6.3,0.1)
      \rput(6.4,-0.5){\large $2\pi$}
      \psline(6.3,-0.1)(6.3,0.1)
      \psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)
      %\psline{<->}(-3.14,-1.5)(3.14,-1.5)
      %\psline[linestyle=dashed](-3.14,-1.5)(-3.14,0)
      %\psline[linestyle=dashed](3.14,-1.5)(3.14,0)
      %\rput(0,-1.9){\Large $2\pi$}
      %\psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)
   \end{pspicture} 

 \end{center}

 \section{Exercices}

 \input{insert-exercices}
\end{document}
