\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{premiere-spe-math}
\chead{}\rhead{Contrôle~: trigonométrie}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: trigonométrie}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE equation-trigo01.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\Intfo{0}{2\pi}$ l'équation $\sin\left( x
	\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :

%	$S=$\makebox[5cm]{\dotfill}.
    \item Résoudre dans $\Intfo{0}{2\pi}$ l'équation $\sin\left( 2x
	\right)=\dfrac{1}{2}$ :

%	$S=$\makebox[5cm]{\dotfill}.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE trigo17-modif-01.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
Résoudre les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
  
\begin{enumerate}
  \item $\sin\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $x\in\Intfo{-\pi}{\pi}$;
  \item $\sin\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $x\in\Intfo{\dfrac{21\pi}{2}}{\dfrac{23\pi}{2}}$;
  \item $\cos\left( x \right)=\dfrac{1}{2}$, $x\in\Intfo{0}{2\pi}$;
  \item $\sin\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $x\in\Intof{-\pi}{\pi}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE trigo16-modif-01.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
\begin{enumerate}
  \item On donne $\cos\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ avec
  $x\in\Intff{\dfrac{\pi}{2}}{\pi}$. Calculer $\sin\left( x \right)$.
  \item On donne $\sin\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ avec
	$x\in\Intff{\dfrac{\pi}{2}}{\pi}$. Calculer $\cos\left( x \right)$.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE trigo27.tex
%%%%% Exo  4 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Trouver les éventuels réel $x$ tels que : $\cos\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}$ et $x\in\Intff{\dfrac{35\pi}{2}}{\dfrac{43\pi}{2}}.$

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
    \item	$S=\left\{ \dfrac{4\pi}{3}\pv\dfrac{5\pi}{3} \right\}$.
    \item	$S=\left\{
	\dfrac{\pi}{12}\pv\dfrac{5\pi}{12}\pv\dfrac{13\pi}{12}\pv\dfrac{17\pi}{12} \right\}$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item Les solutions de l'équation $\sin\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dans l'intervalle $\Intof{-\pi}{\pi}$ sont $x=-\dfrac{\pi}{3}$ et $x=-\dfrac{2\pi}{3}.$
  \item 
	\def\equationtrig{$\sin\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$}
	\def\intervallerestrigo{$\Intfo{\dfrac{21\pi}{2}}{\dfrac{23\pi}{2}}$}
Résolution de l'équation \equationtrig dans \intervallerestrigo.
\begin{itemize}
  \item Solution dans $\GR$: les solutions dans $\GR$ de l'équation \equationtrig sont :

	  % mesure principale :
	  \renewcommand{\generiquea}{-\dfrac{2\pi}{3}}
	  \renewcommand{\generiqueb}{-\dfrac{\pi}{3}}
	  
	\begin{center}
	  $x=\generiquea+2k\pi,\ k\in\GZ$ ou $x=\generiqueb+2k\pi,\ k\in\GZ.$
	\end{center}
  \item Déterminons les solutions dans \intervallerestrigo.
	\begin{itemize}
	  \item \textit{1\up{er} cas :}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
		\[\begin{array}{lcl} 
			\dfrac{21\pi}{2}\generiquea +2k\pi < \dfrac{23\pi}{2}	   & \iff &   \dfrac{67}{12}\leq k < \dfrac{73}{12} \\ 
			 & \iff & k=6      \\ 
		\end{array}\]
 \item \textit{2\up{e} cas :}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
		\[\begin{array}{lcl} 
			\dfrac{21\pi}{2} \leq \generiqueb+2k\pi < \dfrac{23\pi}{2}	   & \iff &   \dfrac{65}{12}\leq k < \dfrac{71}{12} \\ 
		\end{array}\]
		Aucune valeur de $k$ ne convient.
	\end{itemize}
	L'ensemble des solutions est donc $S=\Bigset{\dfrac{34\pi}{3}}.$
\end{itemize}
\item Les solutions de l'équation $\cos\left( x \right)=\dfrac{1}{2}$ dans l'intervalle $\Intfo{0}{2\pi}$ sont $x=\dfrac{\pi}{3}$ et $x=\dfrac{5\pi}{3}.$
\item Les solutions de l'équation $\sin\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dans l'intervalle $\Intfo{\pi}{\pi}$ sont $x=-\dfrac{\pi}{3}$ et $x=-\dfrac{2\pi}{3}.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}

\begin{enumerate}
  \item 
 $\cos(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.$   
{Déterminons les valeurs possibles de} $\sin(x).$  
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\[\begin{array}{lcl} 
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1& \iff &  \sin^2(x) = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)^2\\

& \iff & \sin^2(x) = \dfrac{2}{3}\\

& \iff & \sin(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \quad \text{ou} \quad \sin(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{3}
\end{array}\]

Lorsque $ x \in \left[ \dfrac{\pi}{2}, \pi \right] $, on a $\sin(x) \geq 0.$  
{Ainsi} :

\[
\sin(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{3}
\]

\item $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}.$ {Déterminons les valeurs possibles de} $\cos(x).$  
  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
  \[\begin{array}{lcl} 
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 & \iff &  \cos^2(x) = 1 - \dfrac{3 }{16}\\

 & \iff & \cos^2(x) = \dfrac{13}{16}\\

 & \iff & \cos(x) = \pm \dfrac{\sqrt{13}}{4}
  \end{array}\]

  {Lorsque} $ x \in \left[ \dfrac{\pi}{2}, \pi \right] $, {on a} $\cos(x) \leq 0.$  
{Ainsi} :

\[
\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{13}}{4}
\]


\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\def\equationtrig{$\cos\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}$}
\def\intervallerestrigo{$\Intff{\dfrac{35\pi}{2}}{\dfrac{43\pi}{2}}$}
Résolution de l'équation \equationtrig dans \intervallerestrigo.
\begin{itemize}
  \item Solution dans $\GR$: les solutions dans $\GR$ de l'équation \equationtrig sont :

	  % mesure principale :
	  \renewcommand{\generiquea}{\dfrac{2\pi}{3}}
	  \renewcommand{\generiqueb}{-\dfrac{2\pi}{3}}
	  
	\begin{center}
	  $x=\generiquea+2k\pi,\ k\in\GZ$ ou $x=\generiqueb+2k\pi,\ k\in\GZ.$
	\end{center}
  \item Déterminons les solutions dans \intervallerestrigo.
	\begin{itemize}
	  \item \textit{1\up{er} cas :}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
		\[\begin{array}{lcl} 
			\dfrac{35\pi}{2} \leq \generiquea +2k\pi \leq \dfrac{43\pi}{2}	   & \iff &    \dfrac{101}{12} \leq k \leq \dfrac{125}{12} \\ 
			 & \iff & k\in\bigset{ 9,10}      \\ 
		\end{array}\]
 \item \textit{2\up{e} cas :}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
		\[\begin{array}{lcl} 
			\dfrac{35\pi}{2}\leq \generiqueb+2k\pi \leq \dfrac{43\pi}{2}	   & \iff &    \dfrac{109}{12} \leq k \leq \dfrac{133}{12} \\ 
			 & \iff & k\in\bigset{ 10,11}      \\ 
		\end{array}\]
	\end{itemize}
	L'ensemble des solutions est donc $S=\Bigset{\generiquea+2k\pi,\ k\in\bigset{9,10}}\cup\Bigset{\generiqueb+2k\pi,\ k\in\bigset{10,11}}.$
\end{itemize}

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
