\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{premiere-spe-math}
\chead{}\rhead{Contrôle~: trigonométrie}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: trigonométrie}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE equation-trigo01-modif-01.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
\begin{enumerate}
    \item Résoudre dans $\Intfo{0}{2\pi}$ l'équation $\sin\left( x
	\right)=-\dfrac{1}{2}$ :

%	$S=$\makebox[5cm]{\dotfill}.
    \item Résoudre dans $\Intfo{0}{2\pi}$ l'équation $\sin\left( 2x
	  \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :

%	$S=$\makebox[5cm]{\dotfill}.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE trigo17-modif-02.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
Résoudre les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
  
\begin{enumerate}
  \item $\cos\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $x\in\GR$;
  \item $\cos\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $x\in\Intfo{-5\pi}{\pi}$;
  \item $\sin\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $x\in\Intfo{\dfrac{5\pi}{3}}{\dfrac{15\pi}{2}}$;
  \item $\cos\left( x \right)=\dfrac{1}{2}$, $x\in\Intfo{0}{2\pi}$;
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE trigo16-modif-02.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
\begin{enumerate}
  \item On donne $\sin\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ avec
	$x\in\Intff{\dfrac{\pi}{2}}{\pi}$. Calculer $\cos\left( x \right)$.
  \item On donne $\sin\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{4}$ avec
	$x\in\Intff{-\pi}{-\dfrac{\pi}{2}}$. Calculer $\cos\left( x \right)$.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE trigo27-modif-01.tex
%%%%% Exo  4 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Trouver les éventuels réel $x$ tels que : $\cos\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $x\in\Intff{\dfrac{35\pi}{2}}{\dfrac{47\pi}{2}}.$

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item L'ensemble des solutions de l'équation $\sin\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}$ dans $\Intfo{0}{2\pi}$ est : $S=\Bigset{\dfrac{7\pi}{6}\pv \dfrac{11\pi}{6}}.$
  \item Résolution de l'équation $\sin\left( 2x \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dans $\Intfo{0}{2\pi}.$
	\begin{itemize}
	  \item Solutions dans $\GR$: 

		$2x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi,\ k\in\GZ$ ou $2x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi,\ k\in\GZ,$ on obtient alors :

		$x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\ k\in\GZ$ ou $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in \GZ.$
	  \item Déterminons les solutions qui sont dans $\Intfo{0}{2\pi}.$
		\begin{itemize}
		  \item 1\up{er} cas : 
			\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
			\[\begin{array}{lcl} 
				0 \leq \dfrac{\pi}{6}+k2\pi < 2\pi   & \iff &   -\dfrac{1}{6}\leq k < \dfrac{11}{6} \\ 
				& \iff & k\in\bigset{0,1}      \\ 
			\end{array}\]
		  \item 2\up{e} cas :
			\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
			\[\begin{array}{lcl} 
				0\leq \dfrac{\pi}{3}+k2\pi < 2\pi & \iff &  -\dfrac{1}{3}\leq k < \dfrac{5}{3}  \\ 
				& \iff & k\in\bigset{0,1}      \\ 
			\end{array}\]
		\end{itemize}
		L'ensemble des solutions est donc $S=\Bigset{\dfrac{\pi}{6},\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}}.$

	\end{itemize}
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item Les solutions de l'équation $\cos\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dans $\GR$ sont $x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\GN$ ou $x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\GZ.$
  \item 
	\def\equationtrig{$\cos\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$}
	\def\intervallerestrigo{$\Intfo{-5\pi}{\pi}$}
Résolution de l'équation \equationtrig dans \intervallerestrigo.
\begin{itemize}
  \item Solution dans $\GR.$ Les solutions dans $\GR$ de l'équation \equationtrig sont :

	  % mesure principale :
	  \renewcommand{\generiquea}{\dfrac{\pi}{4}}
	  \renewcommand{\generiqueb}{-\dfrac{\pi}{4}}

	\begin{center}
	  $x=\generiquea+2k\pi,\ k\in\GZ$ ou $x=\generiqueb+2k\pi,\ k\in\GZ.$
	\end{center}
  \item Déterminons les solutions dans \intervallerestrigo.
	\begin{itemize}
	  \item \textit{1\up{er} cas :}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
		\[\begin{array}{lcl} 
			-5\pi \leq \generiquea +2k\pi < \pi	   & \iff &   -\dfrac{21}{8}\leq k < \dfrac{3}{8} \\ 
			 & \iff & k\in\bigset{-2,-1,0}      \\ 
		\end{array}\]
 \item \textit{2\up{e} cas :}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
		\[\begin{array}{lcl} 
			-5\pi \leq \generiqueb+2k\pi <\pi	   & \iff &   -\dfrac{19}{18}\leq k < \dfrac{5}{8} \\ 
			 & \iff & k\in\bigset{-2,-1,0}      \\ 
		\end{array}\]
	\end{itemize}
	L'ensemble des solutions est donc $S=\Bigset{\generiquea+2k\pi,\ k\in\bigset{ -2,-1,0}}\cup\Bigset{\generiqueb+2k\pi,\ k\in\bigset{-2,-1,0}}.$
\end{itemize}

\item 

  \def\equationtrig{$\sin\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$}
  \def\intervallerestrigo{$\Intfo{\dfrac{5\pi}{3}}{\dfrac{15\pi}{2}}$}
Résolution de l'équation \equationtrig dans \intervallerestrigo.
\begin{itemize}
  \item Solution dans $\GR.$ Les solutions dans $\GR$ de l'équation \equationtrig sont :

	  % mesure principale :
	  \renewcommand{\generiquea}{\dfrac{\pi}{4}}
	  \renewcommand{\generiqueb}{\dfrac{3\pi}{4}}
	  
	\begin{center}
	  $x=\generiquea+2k\pi,\ k\in\GZ$ ou $x=\generiqueb+2k\pi,\ k\in\GZ.$
	\end{center}
  \item Déterminons les solutions dans \intervallerestrigo.
	\begin{itemize}
	  \item \textit{1\up{er} cas :}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
		\[\begin{array}{lcl} 
			\dfrac{5\pi}{3}\leq \generiquea +2k\pi < \dfrac{15\pi}{2}	   & \iff &   \dfrac{17}{24}\leq k < \dfrac{15\pi}{2} \\ 
			 & \iff & k\in\bigset{1,2,3}      \\ 
		\end{array}\]
 \item \textit{2\up{e} cas :}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
		\[\begin{array}{lcl} 
			\dfrac{5\pi}{4}\leq \generiqueb+2k\pi < \dfrac{15\pi}{2}	   & \iff &    \dfrac{11}{24}\leq k < \dfrac{27}{8} \\ 
			 & \iff & k\in\bigset{1,2,3}      \\ 
		\end{array}\]
	\end{itemize}
	L'ensemble des solutions est donc $S=\Bigset{\generiquea+2k\pi,\ k\in\bigset{ 1,2,3}}\cup\Bigset{\generiqueb+2k\pi,\ k\in\bigset{1,2,3}}.$
\end{itemize}
\item Les solutions de l'équation $\cos\left( x \right)=\dfrac{1}{2}$ dans l'intervalle $\Intfo{0}{2\pi}$ sont $x=\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{5\pi}{3}.$
\end{enumerate}


\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item 
 $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.$   
{Déterminons les valeurs possibles de} $\cos(x).$  
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\[\begin{array}{lcl} 
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1& \iff &  \cos^2(x) = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)^2\\

& \iff & \cos^2(x) = \dfrac{2}{3}\\

& \iff & \cos(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \quad \text{ou} \quad \cos(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{3}
\end{array}\]

Lorsque $ x \in \left[ \dfrac{\pi}{2}, \pi \right] $, on a $\cos(x) \leq 0.$  
{Ainsi} :

\[
\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{3}
\]

\item $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{4}.$ {Déterminons les valeurs possibles de} $\cos(x).$  
  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
  \[\begin{array}{lcl} 
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 & \iff & 
\cos^2(x) = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{15}}{4} \right)^2\\

 & \iff & \cos^2(x) = 1 - \dfrac{3 - 2\sqrt{15} + 5}{16}\\

 & \iff & \cos^2(x) = \dfrac{16 - 8 + 2\sqrt{15}}{16}\\
 & \iff & \cos^2(x) = \dfrac{4 + \sqrt{5}}{8}\\

 & \iff & \cos(x) = \pm \dfrac{\sqrt{4 + \sqrt{15}}}{4}
  \end{array}\]

{Lorsque} $ x \in \left[ -\pi, -\dfrac{\pi}{2} \right] $, {on a} $\cos(x) \leq 0.$  
{Ainsi} :

\[
\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{4 + \sqrt{15}}}{4}
\]


\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}


{Les solutions de l'équation} $\cos(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ {dans} $\GR$ {sont} :  

\[
x = \dfrac{\pi}{6} + k 2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{ou} \quad x = -\dfrac{\pi}{6} + k 2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

{Déterminons les solutions dans} $\left[ \dfrac{35\pi}{2} , \dfrac{47\pi}{2} \right]$

\textit{1er cas :}

\[
\dfrac{35\pi}{2} \leq \dfrac{\pi}{6} + k 2\pi \leq \dfrac{47\pi}{2}
\]
\[
\dfrac{26}{3} \leq k  \leq \dfrac{35}{3}
\]

\[
8,8 \leq k \leq 11.8
\]

\[
k \in \{9,10,11\}
\]

\textit{2e cas :}

\[
\dfrac{35\pi}{2} \leq -\dfrac{\pi}{6} + k 2\pi \leq \dfrac{47\pi}{2}
\]
\[
\frac{53}{16} \leq k  \leq \frac{71}{6}
\]
\[
8,8 \leq k \leq 11.8
\]
\[
k \in \{9,10,11\}
\]

\textit{Ensemble des solutions}

\[
S = \left\{ \dfrac{\pi}{6} + 18\pi, \dfrac{\pi}{6} + 20\pi, \dfrac{\pi}{6} + 22\pi, 
 -\dfrac{\pi}{6} + 18\pi, -\dfrac{\pi}{6} + 20\pi, -\dfrac{\pi}{6} + 22\pi \right\}
\]

\[
= \left\{ \dfrac{109\pi}{6}, \dfrac{121\pi}{6}, \dfrac{133\pi}{6}, \dfrac{107\pi}{6}, \dfrac{119\pi}{6}, \dfrac{131\pi}{6} \right\}
\]



\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
