\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{premiere-spe-math}
\chead{}\rhead{Contrôle : suites numériques (2h)}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle : suites numériques (2h)}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE suite02-modif-01.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
\'Etudier la monotonie des suites $\left( u_n \right)$ définies pour tout entier $n$ par :

  \setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{Sliste}
\item $u_n=n^2-n$
%\item $u_n=\sqrt{n^2+4}$
%\item $u_n=\obfrac{3^n}{n+2}$
\item $\begin{cases}
u_0&=-1 \\
u_{n+1}&=-5+u_n
\end{cases}$
\item $\begin{cases}
u_0&=-4 \\
u_{n+1}&=3u_n
\end{cases}$
\item $\begin{cases}
u_0&=-6 \\
u_{n+1}&=u_n-u_n^4
\end{cases}$
\item $u_{n}=\dfrac{7^{n+1}}{8^{n-2}}$
\item $u_n=-\dfrac{\sqrt{3}\times 2^{3n}}{3^{2n}}$
\end{Sliste}




\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE suite-11.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
On considère la suite $\left( u_n \right)$ définie par $u_{0}=6$ et, pour tout $n\in\GN,$ $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_{n}-2.$
\begin{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item Calculer les cinq premiers termes de la suite $\left( u_n \right).$
	  \item La suite $\left( u_n \right)$ est-elle géométrique ? arithmétique ?
	\end{enumerate}
  \item On considère la suite $\left( v_n \right)$ définie par $v_n=u_n+3.$ 
	\begin{enumerate}
	  \item Démontrer que la suite $\left( v_n \right)$ est géométrique.
	  \item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n.$
	  \item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n.$
	  \item Donner les valeurs exactes de $u_7$ et $u_8$ puis une valeur approchée à $10^{-2} $ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE suite-12.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Calculer les sommes suivantes :
\begin{enumerate}
  \item $S=5+2-1-4-\ldots-34$
  \item  $S=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}-\ldots-\dfrac{1}{256}$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE suite-13.tex
%%%%% Exo  4 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
On suppose que $a,$ $b$ et $c$ sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite géométrique croissante.

Déterminer ces nombres sachant que :
\[a+b+c=260 \et c-a=160.\]

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item Soit $n\in\GN.$ $u_{n+1}-u_{n}=\left( n+1 \right)^2-\left( n+1 \right)-\left( n^2-n \right)=n^2+2n+1-n-1-n^2+n=2n\geq 0.$ La suite $\left( u_{n} \right)$ est donc croissante.
  \item Soit $n\in\GN.$ $u_{n+1}-u_n=-5\leq 0.$ La suite $\left( u_n \right)$ est décroissante.
  \item La suite $\left( u_n \right)$ est une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $u_0=-4,$ par conséquent l'expression de son terme général est $u_{n}=-4\times 3 ^n.$

	Soit $n\in\GN.$ $u_{n+1}-u_{n}= -4\times3^{n+1}+4\times3^n=-4\times 3^3\left( 3-1 \right)=-8\times 3^n\leq 0.$
	La suite $\left( u_n \right)$ est donc décroissante.
  \item Soit $n\in\GN.$ $u_{n+1}-u_{n}= -u_{n}^4\leq 0.$
	La suite $\left( u_n \right)$ est donc décroissante.
  \item Soit $n\in\GN.$ $u_n=7\times 8^2 \times\left( \dfrac{7}{8} \right)^n= 448\times \left( \dfrac{7}{8} \right)^n.$ La suite est donc géométrique de premier terme $u_0=448$ et de raison $q=\dfrac{7}{8}.$ Le premier terme est positif et $0<q< 1$ donc la suite $\left( u_n \right)$ est décroissante.
  \item Soit $n\in\GN.$ $u_{n}=-\sqrt{3}\times \left( \dfrac{8}{9} \right)^{n}.$ La suite est donc croissante.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
  \item $u_0=6,$ $u_1=0,$ $u_2=-2,$ $u_3=-\dfrac{8}{3},$ $u_4=-\dfrac{26}{9}.$
	  \item 
		\begin{itemize}
		  \item $u_1-u_0=-6$ et $u_2-u_1=-2$ la suite n'est donc pas géométrique.
		  \item $u_1=0.$ si $\left( u_n \right)$ était géométrique alors, pour tout $n\in\GN,$  $u_n=u_1\times q^{n-1}=0$ ce qui n'est pas le cas. $\left( u_n \right)$ n'est donc pas géométrique.
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item Soit $n\in\GN.$ 

		$v_{n+1}=u_{n+1}+3=\dfrac{1}{3}u_{n}-2+3=\dfrac{1}{3}u_n+1=\dfrac{1}{3}\left( u_n+3 \right)=\dfrac{1}{3}v_n.$

		$\left( v_n \right)$ est donc géométrique de raison $q = \dfrac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=9.$
	  \item Pour tout $n\in\GN,$ $v_n=9\times\left( \dfrac{1}{3} \right)^n=\dfrac{1}{3^{n-2}.}$

		On en déduit l'expression de $u_n$ en fonction de $n$: $u_n=\dfrac{1}{3^{n-2}}-3.$
	  \item $u_7=-\dfrac{728}{243}\approx -3,00$ et 

		$u_8=-\dfrac{\nombre{2186}}{729}\approx -3,00.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item On a une suite de nombres en progression arithmétique de raison $r=-3.$ On pose $u_0=5,$ ainsi, pour tout $n\in\GN,$ $u_n=5-3n.$

	$-34=5-3n\iff n= 13.$ On en déduit que

	$S=u_0+\ldots +u_{13}=14\times \dfrac{5-34}{2}=-203.$
  \item On a une suite de nombres en progression géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{2}.$ On pose $u_0=\dfrac{1}{2},$ ainsi, pour tout $n\in\GN, $ $u_n=\dfrac{1}{2}\times \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n}=\dfrac{\left( -1 \right)^n}{2^{n+1}}.$

	$u_7=\dfrac{\left( -1 \right)^7}{2^8}=-\dfrac{1}{256}.$ On en déduit que 

	$S=u_0+\ldots+u_7=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1-\left( -\dfrac{1}{2} \right)^8}{1+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2^8-1}{3\times 2^8}=\dfrac{85}{256}. $
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
Soit $q$ la raison de cette suite. On a $b=aq$ et $c=aq^2,$ ainsi, d'une part 
$a+b+c=260\iff a\left( 1+q+q^2 \right)=260$ et d'autre part 
$c-a=160\iff a\left( q^2-1 \right)=160.$

La suite est croissante par conséquent $q\ne 1$ et donc $q^2-1\ne 0.$ On en déduit que $a=\dfrac{160}{q^2-1}.$

En substituant dans la première équation on obtient :

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\[\begin{array}{lcl} 
	a\left( 1+q+q^2 \right)=260   & \iff & \dfrac{160}{q^2-1}\left( 1+q+q^2 \right)=260   \\ 
	 & \iff & 8\left( 1+q+q^2 \right)=13\left( q^2-1 \right)      \\ 
	 & \iff & 5q^2-8q-21=0      \\ 
\end{array}\]

Résolvons l'équation du second degré : $5x^2-8x-21=0.$

$\Delta= 484,$ $x_1=-\dfrac{7}{5}$ et $x_{2}=3.$

La suite étant croissante, nécessairement, $q=3.$

$1+3+9=13$ donc $a=20,$ $b=60$ et $c=180.$


\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
