\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{premiere-spe-math}
\chead{}\rhead{Contrôle~: suites numériques (2h)}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: suites numériques (2h)}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE suite-10.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
\'Etudier la monotonie des suites $u$ définies pour tout entier $n$ par :

  \setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{Sliste}
\item $u_n=n-n^2$
%\item $u_n=\sqrt{n^2+4}$
%\item $u_n=\obfrac{3^n}{n+2}$
\item $\begin{cases}
u_0&=-2 \\
u_{n+1}&=5+u_n
\end{cases}$
\item $\begin{cases}
u_0&=-1 \\
u_{n+1}&=0,3u_n
\end{cases}$
\item $\begin{cases}
u_0&=-2 \\
u_{n+1}&=u_n+2u_n^2
\end{cases}$
\end{Sliste}



\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE PS026.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
%NK:Premiere/Suites/exo-026/texte.tex
\begin{enumerate}

\item Soit deux urnes $\mathcal{U}_1$ et $\mathcal{U}_2$; la première contient
6~boules blanches et 4~boules noires, la seconde contient
8~boules blanches et 2~boules noires.

D'une des urnes, choisie au hasard (il y a équiprobabilité pour ce choix), on
extrait une boule que l'on remet dans l'urne : si la boule est blanche on recommence le
tirage dans le m\^eme urne, si elle est noire on recommence le tirage dans
l'autre urne. Cette règle est appliquée à chaque tirage et l'on suppose qu'à
l'intérieur de chaque urne les tirages sont équiprobables.

Soit $P_n$ la probabilité pour que le $n^{\text{ième}}$ tirage se fasse dans
l'urne $\mathcal{U}_1$ $(n\in\GN^*)$.

	\begin{enumerate}
	\item Déterminer $P_1$.
	\item Déterminer $P_2$.
	\item Démontrer qu'il existe une relation de récurence vérifiée par la
	suite $(P_n)$ de la forme :
	$$\tnn{^*} P_{n+1}=aP_n+b$$
	où $a$ et $b$ sont des réels que l'on déterminera.
	
	\end{enumerate}

\item On considère la suite $(u_n)$ dont le terme général est défini pour $n$
entier strictement positif par :
$$\begin{cases}
\displaystyle{u_1=\frac{1}{2}}\\
\displaystyle{u_{n+1}=\frac{2}{5}u_n+\frac{1}{5}}\\
\end{cases}$$

	\begin{enumerate}
	\item Déterminer le réel $\alpha$ tel que la suite $(V_n)$, dont le
	terme général est défini pour $n$ entier strictement positif par :
	$$V_n=u_n-\alpha$$
	soit une suite géométrique.
	
	\item Exprimer $V_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
	
	\item En déduire la limite de la suite $(P_n)$ quand $n$ vers l'infini.
	
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE PS028.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
%NK:Premiere/Suites/exo-028/texte.tex
On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\in\GN^*$ par:
	$\begin{cases}
	u_1&=a \\ u_2&=b \\ u_{n+2}&=\cfrac{1}{2}(u_{n+1}+u_n)
	\end{cases}$
	
\begin{enumerate}

\item On pose $w_n=u_n-u_{n-1}$. Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique.

\item Expliciter $v_n$ puis $u_n$ en fonction $n$.

\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE PS002.tex
%%%%% Exo  4 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
%NK:Premiere/Suites/exo-002/texte.tex
Soit $(u_n)_{n\in\GN}$ une suite géométrique non décroissante.


\begin{enumerate}

\item   Sachant que : $u_2=-1$ et 
$u_3-u_1=-\cfrac{8}{3},$ démontrer la raison de la suite $\left( u_n \right)$ vaut $3.$

\item Expliciter $u_n$ en fonction de $n$.

%\item Exprimer $\displaystyle{S_n=\sum_{i=0}^{n-1}u_i}=u_{0}+u_{1}+\ldots + u_{n-1}$ en fonction de $n$.
\item Exprimer $S_n=u_{0}+u_{1}+\ldots + u_{n-1}$ en fonction de $n$.

%\item Conjecturer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item Soit $n\in\GN.$ $u_{n+1}-u_{n}=\left( n+1 \right)-\left( n+1 \right)^2-\left( n-n^2 \right)=n+1-n^2-2n-1-n+n^2=-2n\leq 0.$ La suite $\left( u_{n} \right)$ est donc décroissante.
  \item Soit $n\in\GN.$ $u_{n+1}-u_n=5\geq 0.$ La suite $\left( u_n \right)$ est croissante.
  \item La suite $\left( u_n \right)$ est une suite géométrique de raison $0,3$ et de premier terme $u_0=-1,$ par conséquent l'expression de son terme général est $u_{n}=-\left( 0,3 \right)^n.$

	Soit $n\in\GN.$ $u_{n+1}-u_{n}= -\left( 0,3 \right)^{n+1}+0,3^n=0,7\times 0,3^n \geq 0.$
	La suite $\left( u_n \right)$ est donc croissante.
  \item Soit $n\in\GN.$ $u_{n+1}-u_{n}= 2u_{n}^2\geq 0.$
	La suite $\left( u_n \right)$ est donc croissante.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item $P_1=\dfrac{1}{2}.$
	  \item 
		\begin{itemize}
		  \item La probabilité que l'on tire la deuxième boule dans l'urne 1, sachant que le premier tirage a eu lieu dans l'urne 1 est $\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$ car cela signifie qu'on a eu une boule blanche;
		  \item La probabilité que l'on tire la deuxième boule dans l'urne 1, sachant que le premier tirage a eu lieu dans l'urne 2 est $\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$ car cela signifie qu'on a eu une boule noire.
		\end{itemize}
		La situation peut se modéliser par l'arbre de probabilité suivant :
		\begin{center}
		  %\scalebox{0.6}{
		  \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1.5cm,levelsep=4cm]{\TR{}}
{
  \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$U_1$}\taput{ $\frac{1}{2}$}}
   {
	 \TR{$U_1$}\taput{$\frac{3}{5}$}
	 \TR{$U_2$}\tbput{ $\frac{2}{5}$}
   }
   \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$U_2$}\tbput{$\frac{1}{2}$}}
   {
	 \TR{$U_1$}\taput{ $\frac{1}{5}$}
	 \TR{$U_2$}\tbput{$\frac{4}{5}$}
   }
}
%}
		\end{center}
		En appliquant la formule des probabilités totales, on obtient 
		\[P_2=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{5}= \dfrac{2}{5}.\]
	  \item De la même manière, on a :
		\begin{center}
		  %\scalebox{0.6}{
		  \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1.5cm,levelsep=4cm]{\TR{}}
{
  \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$U_1$}\taput{ $P_n$}}
   {
	 \TR{$U_1$}\taput{$\frac{3}{5}$}
	 \TR{$U_2$}\tbput{ $\frac{2}{5}$}
   }
   \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$U_2$}\tbput{$1-P_n$}}
   {
	 \TR{$U_1$}\taput{ $\frac{1}{5}$}
	 \TR{$U_2$}\tbput{$\frac{4}{5}$}
   }
}
%}
		\end{center}
		D'où : $P_{n+1}=P_n\times\dfrac{3}{5}+\left( 1-P_n \right)\times\dfrac{1}{5}= \dfrac{2}{5}P_n+\dfrac{1}{5}.$
	\end{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item Soit $n\in\GN^*.$
		$V_{n+1}=u_{n+1}-\alpha=\dfrac{2}{5}u_{n}+\dfrac{1}{5}-\alpha$ %$= \dfrac{2}{5}\left( u_n +\dfrac{1}{2}-\dfrac{5\alpha}{2} \right).$

		Or $u_{n}=V_n+\alpha,$ en substituant dans l'égalité précédente, on obtient :

		$V_{n+1}=\dfrac{2}{5}\left( V_n+\alpha \right)+\dfrac{1}{5}-\alpha= \dfrac{2}{5}V_n +\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{5}\alpha.$

		Pour que $\left( V_n \right)$ soit une suite géométrique, il suffit de choisir $\alpha$ tel que $\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{5}\alpha=0.$
		%$ \dfrac{1}{2}-\dfrac{5\alpha}{2}=-\alpha.$ 

		En résolvant cette équation, on obtient :
		$\alpha= \dfrac{1}{3}.$

		$\left( V_n \right)$ est alors la suite géométrique de raison $q=\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $V_1=\dfrac{1}{6}.$
	  \item Pour tout $n\in\GN,$ $V_n=\dfrac{1}{6}\times\left( \dfrac{2}{5} \right)^{n-1}.$

		On en déduit l'expression de $u_n$:
		$u_n=\dfrac{1}{6}\times\left( \dfrac{2}{5} \right)^{n-1}+\dfrac{1}{3}. $
	  \item $P_n$ tend vers donc vers $\dfrac{1}{3}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty.$
	\end{enumerate}
	

\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item Soit $n\in\GN.$ 

	$v_{n+1}=u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{2}\left( u_n+u_{n-1} \right)-u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2}-\dfrac{u_n}{2}=-\dfrac{1}{2}\left( u_n-u_{n-1} \right)=-\dfrac{1}{2}v_n.$

	$\left( v_n \right)$ est donc la suite géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_2=b-a.$
  \item Pour tout $n\in\GN,$ $v_n=\left( b-a \right)\times\left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n-2}.$ 

	On remarque que $v_2+\ldots+v_n=u_2-u_1+u_3-u_2+\ldots+u_n-u_{n-1}=u_n-u_1.$

	Or $v_2+\ldots+v_n= \left( b-a \right)\dfrac{1-\left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n-1}}{1+\dfrac{1}{2}}= \dfrac{2\left( b-a \right)}{3}\left( 1-\left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \right).$

	On en déduit que $u_n=\dfrac{2\left( b-a \right)}{3}\left( 1-\left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \right)+a.$
  \item La limite est $\dfrac{a+2b}{3}.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item Soit $q$ la raison de la suite $\left( u_{n} \right).$ $q\ne0$ car sinon $\left(
	u_{n}
	\right) $ serait constante et on aurait $u_{3}-u_{1}=0.$
	
    On a $u_{1}=\dfrac{u_{2}}{q}$ et
	$u_{3}=qu_{2}$ donc 
	\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
	\[\begin{array}{lcl} 
		u_{3}-u_{1}=-\dfrac{8}{3}   & \iff &   q u_{2}-\dfrac{u_{2}}{q}=-\dfrac{8}{3} \\ 
		& \iff & q^2\times\left( -1 \right)-\left( -1 \right)=-\dfrac{8}{3}q      \\ 
		   & \iff & 3q^2-8q-3=0      \\ 
		   \end{array}\]
		Résolvons l'équation du second degré $3x^2-8x-3=0~:$
		
		$\Delta =100,$ on obtient deux solutions $x_{1}=\dfrac{8-10}{6}=-\dfrac{1}{3}$ et
		$x_{2}=\dfrac{3+10}{6}=3.$

		$\left( u_{n} \right)$ est croissante donc $q\geq 1,$ ainsi $q=3.$
	  \item Pour tout $n\in\GN,$ $u_{n}=u_{2} q^{n-2}=-3^{n-2}=-\dfrac{1}{9}\times 3^n.$
	  \item Pour tout $n\in\GN,$ 
		\begin{align*} 
		  S_{n}   &=  -\dfrac{1}{9}+\left(-\dfrac{1}{9}\right)\times
		3+\ldots+\left(-\dfrac{1}{9}\right)\times 3^{n-1}=-\dfrac{1}{9}\left( 1+3+\ldots+3^{n-1}
		\right) \\ 
		     &= -\dfrac{1}{9}\times\dfrac{1-3^n}{1-3}=\dfrac{1}{18}\times \left( 3^n-1 \right). \\ 
			 \end{align*}
		\item On conjecture que $\Lim[n]{+\infty}{S_{n}}=+\infty. $
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
