\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{premiere-spe-math}
\chead{}\rhead{Contrôle~: probabilités (1h)}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: probabilités (1h)}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE independance-03.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $P\left( A \right)=0,8-p,$ $P\left( B \right)=0,5-p$ et $P\left( A\cap B \right)=0,3p.$ Déterminer les éventuelles valeurs de $p$ telles que $A$ et $B$ soient indépendantes (on donnera les valeurs exactes et approchées au centième).

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE proba-conditionnelles-01-modif-02.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
%% LaTeX2e file `exercice/MetropoleS2013-exo-1'

Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35\,\% des plants proviennent de l'horticulteur H$_{1}$, 25\,\% de l'horticulteur H$_{2}$ et le reste de l'horticulteur H$_{3}$. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles.

La livraison de l'horticulteur H$_{1}$ comporte 80\,\% de conifères alors que celle de l'horticulteur H$_{2}$ n'en comporte que 50\,\% et celle de l'horticulteur H$_{3}$ seulement 30\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.

On envisage les événements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $H_{1}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{1}$ \fg,
\item $H_{2}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{2}$ \fg,
\item $H_{3}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{3}$ \fg,
\item $C$\phantom{$_{3}$} : \og l'arbre choisi est un conifère \fg,
\item $F$\phantom{$_{3}$} : \og l'arbre choisi est un arbre feuillu \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

 \begin{enumerate}
  \item Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
  \item Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H$_{3}$.
  \item Justifier que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,525$.
  \item L'arbre choisi est un conifère.

Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H$_1$ ? On arrondira à $10^{-3}$.
 \end{enumerate}
 \item Inverser l'arbre.
\end{enumerate}


\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
Remarquons tout d'abord que $P\left( A \right), $ $P\left( B \right)$ et $P\left( A\cap B \right)$ sont des nombres compris entre $0$ et $1$ $\ie$ $0\leq 0,8-p\leq 1,$ $0\leq 0,5-p\leq 1$ et $0\leq 0,3p\leq 1.$ Ces contraintes nous impose d'avoir $p\in I=\Intff{-0,2}{0,5}.$

$A$ et $B$ sont indépendants si, et seulement si, $P\left( A\cap B \right)=P\left( A \right)P\left( B \right).$ Or,
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\[\begin{array}{lcl} 
	P\left( A\cap B \right)=P\left( A \right)P\left( B \right)   & \iff &   \left( 0,8-p \right)\left( 0,5-p \right)=0,3p \et p\in I \\ 
	 & \iff & p^2-1,6p+0,4=0    \et p\in I   \\ 
	 & \iff & 10p^2-16p+4=0    \et p\in I   \\ 
\end{array}\]
On considère l'équation du second degré $10x^2-16x+4=0.$
$\Delta= 16^2-4\times 10 \times 4= 96,$ $x_1=\dfrac{4-\sqrt{6}}{5}\approx 0,31$ et $x_2=\dfrac{4+\sqrt{6}}{5}\approx 1,29.$ 

$P\left( A \right),$ $P\left( B \right)$ et $P\left( A\cap B\right)$ sont des nombres compris entre $0$ et $1,$ par conséquent $\dfrac{4+\sqrt{6}}{5}$ ne convient pas. La seule valeur possible est $p=\dfrac{4-\sqrt{6}}{5}.$

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
% La correction est à faire: au boulot!

Puisque le choix de l'arbre se fait au hasard dans le stock de la jardinerie, on  assimile les proportions données à des probabilités.

\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item L'arbre pondéré traduisant cette situation est :
 \begin{center}
% Racine à Gauche, développement vers la droite
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[circle]
\tikzstyle{feuille}=[circle]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{1}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\GNiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\GNiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\GNiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\GNiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {Stock};
\node[noeud] (Ra) at ({\GNiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$H_1$};
\node[feuille] (Raa) at ({\GNiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Rab) at ({\GNiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$F$};
\node[noeud] (Rb) at ({\GNiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$H_2$};
\node[feuille] (Rba) at ({\GNiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\GNiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$F$};
\node[noeud] (Rc) at ({\GNiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$H_3$};
\node[feuille] (Rca) at ({\GNiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Rcb) at ({\GNiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$F$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\begin{small}
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$0,35$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$0,8$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$0,2$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$0,25$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$0,5$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$0,5$};
\draw[fleche] (R)--(Rc) node[etiquette] {$0,4$};
\draw[fleche] (Rc)--(Rca) node[etiquette] {$0,3$};
\draw[fleche] (Rc)--(Rcb) node[etiquette] {$0,7$};
\end{small}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On cherche à calculer la probabilité de l'intersection $H_3 \cap C$, donc : $P(H_3 \cap C) = P(H_3) \times P_{H_3}(C) = 0,4 \times 0,3$. On a donc $P(H_3 \cap C) = 0,12$.

\item Puisque la jardinerie ne se fournit qu'auprès de trois horticulteurs, les événements $H_1$, $H_2$ et $H_3$ forment un système complet d'événements. On peut donc appliquer la loi des probabilités totales, et on en déduit :

$P(C) = P(H_1) \times P_{H_1}(C) +P(H_2) \times P_{H_2}(C) +P(H_3) \times P_{H_3}(C) = $

$0,35 \times 0,8 + 0,25 \times 0,5 + 0,4 \times 0,3 =  0,525$.

\item On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle :

$P_C(H_1) = \dfrac{P(H_1 \cap C)}{P(C)} = \dfrac{0,35 \times 0,8}{0,525} \approx  0,533$.
\end{enumerate}
\item On obtient l'arbre suivant :
  \begin{center}
		  \pstree[treemode=R,treesep=1.,levelsep=3,nodesep=1.75pt, labelsep =2pt ]{\TR{}}%
{
\pstree{\Tr{C}\taput[labelsep =0pt]{$0,525$}}
 {
 \Tr{$H_1$}\taput[labelsep =0pt]{$0,533$}
 \Tr{$H_2$}\taput[labelsep =0pt]{$0,238$}
 \Tr{$H_2$}\tbput[labelsep =0pt]{$0,229$}
 }
\pstree{\Tr{F}\tbput[labelsep =0pt]{$0,475$}}
 {
   \Tr{$H_1$}\taput[labelsep =0pt]{$0,147$}
 \Tr{$H_2$} \taput[labelsep =0pt]{$0,263$}
 \Tr{$H_3$}\tbput[labelsep =0pt]{$0,589$}
 }
}

  \end{center}


\end{enumerate}



























\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
