\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{premiere-spe-math}
\chead{}\rhead{Contrôle~: trigonométrie (1h 30)}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: trigonométrie (1h 30)}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE trigo21.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}

  Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, placer les réels suivants :
  \[-\dfrac{3\pi}{4} \pv \ \dfrac{7\pi}{6}\pv \ -\dfrac{3\pi}{2}\pv\ -\dfrac{9\pi}{4}\pv\ \dfrac{7\pi}{3}.\]

\begin{center}
%  \fbox{
\psset{xunit=3cm,yunit=3cm}
	\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-1.1}{-1.1}{1.2}{1.2}
	  \pscircle(0,0){3}
	  \MaGrille[5,xunit=0.2,yunit=0.2]{-6}{-6}{6}{6}
	  \uput{.2}[225](0,0){$0$}
	\end{pspicture*}
%  }
\end{center}



\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE trigo22.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
 Pour chaque réel ci-dessous donner  le réel de $\Intof{-\pi}{\pi}$ qui repère sur le cercle trigonométrique le même point.
  \setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{4}
  \begin{enumerate}
	\item $\dfrac{\nombre{347}\pi}{4}$
	\item $-\dfrac{58\pi}{3}$
	\item $\dfrac{\nombre{1253}\pi}{11}$ 
	\item $-\nombre{15483}\pi$
  \end{enumerate}
\end{multicols}


\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE trigo23.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Déterminer une valeur du réel $x\in\Intof{-\pi}{\pi}$ dans chacun des cas suivants :
	  {\setlength{\columnseprule}{0pt}\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
	\item $\cos\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}$
	\item $\cos\left( x \right)=0$ et $\sin\left( x \right)=1$
	\item $\cos\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
	\item $\cos\left( x \right)=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  \end{enumerate}
	  \end{multicols}}


\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE trigo24.tex
%%%%% Exo  4 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}

  Sans calculatrice, calculer les expressions suivantes :
  \setlength{\columnseprule}{0pt}\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
	\item $\cos^2\left( -\dfrac{\pi}{3} \right)-\sin^2\left( -\dfrac{5\pi}{6} \right)$
	\item $\dfrac{\sin\left( \dfrac{\pi}{6} \right)}{\cos^2\left( \dfrac{2\pi}{3} \right)}$
	\item $\sin\left( -\dfrac{7\pi}{6} \right)\cos\left( \dfrac{5\pi}{3} \right)-\cos\left( -3\pi \right)$
	\item $\cos^2\left( \dfrac{-\pi}{11} \right)+\sin^2\left( -\dfrac{\pi}{11} \right)$
  \end{enumerate}
  \end{multicols}



\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE trigo25.tex
%%%%% Exo  5 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
  Dans chacun des cas suivants, déterminer un nombre réel $x$ vérifiant les conditions données.
  \begin{enumerate}
	\item $\cos\left( x \right)=\dfrac{1}{2}$
	  \setlength{\columnseprule}{0pt}
	  \begin{multicols}{2}
		\begin{enumerate}
		  \item avec $x\in\Intof{-\pi}{0}$
		  \item avec $x\in\Intfo{2\pi}{3\pi}$
	\end{enumerate}
	  \end{multicols}
	\item $\sin\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
	  \setlength{\columnseprule}{0pt}
	  \begin{multicols}{2}
		\begin{enumerate}
		  \item avec $x\in\Intfo{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}$
		  \item avec $x\in\Intfo{\dfrac{7\pi}{2}}{\dfrac{9\pi}{2}}$
		\end{enumerate}
	  \end{multicols}
  \end{enumerate}



\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE trigo26.tex
%%%%% Exo  6 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs.
\begin{enumerate}
  \item Montrer qu'il existe $x\in\GR$ solution de $\sin\left( x \right)+a\cos\left( x \right)=b$ si, et seulement si, $a^2-b^2+1 \geq 0.$
  \item Si $\sin\left( x \right)+a\cos\left( x \right)=b,$ exprimer $\abs{a\sin\left( x \right)-\cos\left( x \right)} $ en fonction de $a$ et $b.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{center}
%  \fbox{
\psset{xunit=3cm,yunit=3cm}
	\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
	  \MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-1.1}{-1.1}{1.2}{1.2}
	  \pscircle(0,0){3}
	  \MaGrille[5,xunit=0.2,yunit=0.2]{-6}{-6}{6}{6}
	  \uput{.2}[225](0,0){$0$}
	  \psdot(0,1)
	  \uput{0.2}[-45]{0}(0,1){$-\dfrac{3\pi}{2}$}
	  \psdot(-0.866,-0.5)
	  \uput{0.2}[180]{0}(-0.866,-0.5){$\dfrac{7\pi}{6}$}
	  \psdot(-0.707,-0.707)
	  \uput{0.2}[210]{0}(-0.707,-0.707){$-\dfrac{3\pi}{4}$}
	  \psdot(0.707,-0.707)
	  \uput{0.2}[0]{0}(0.707,-0.707){$-\dfrac{9\pi}{4}$}
	  \psdot(0.5,0.866)
	  \uput{0.2}[30]{0}(0.5,0.866){$\dfrac{7\pi}{3}$}
	\end{pspicture*}
%  }
\end{center}



\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
% La correction est à faire: au boulot!
  \begin{enumerate}
	\item $\dfrac{\dfrac{\nombre{347}\pi}{4}}{2\pi}=\dfrac{347}{8}=43,375.$

	  On enlève $43$ tours : $\dfrac{\nombre{347}\pi}{4}-43\times 2\pi= \dfrac{3\pi}{4}. $ 
	\item $\dfrac{\dfrac{58\pi}{3}}{2\pi}= \dfrac{58}{6}\approx 9,67.$

	  On ajoute $10$ tours : $\dfrac{58\pi}{3} +10\times 2\pi = \dfrac{2\pi}{3}. $
	\item $\dfrac{\dfrac{\nombre{1253}\pi}{11}}{2\pi}=\dfrac{\nombre{1253}}{22}\approx 56,95.$

	  On enlève $57$ tours : $\dfrac{\nombre{1253}\pi}{11}-57\times 2\pi = -\dfrac{\pi}{11} $
	\item $\pi$
  \end{enumerate}


\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\setlength{\columnseprule}{0pt}\begin{multicols}{4}
  \begin{enumerate}
	\item $-\dfrac{5\pi}{6}$
	\item $\dfrac{\pi}{2}$
	\item $-\dfrac{3\pi}{4}$
	\item $-\dfrac{\pi}{3}$
  \end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
  \begin{enumerate}
	\item $\cos^2\left( -\dfrac{\pi}{3} \right)-\sin^2\left( -\dfrac{5\pi}{6} \right)=\left( \dfrac{1}{2} \right)^2-\left( -\dfrac{1}{2} \right)^2=0.$
	\item $\dfrac{\sin\left( \dfrac{\pi}{6} \right)}{\cos^2\left( \dfrac{2\pi}{3} \right)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\left( -\dfrac{1}{2} \right)^2}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{1}=2.$
	\item $\sin\left( -\dfrac{7\pi}{6} \right)\cos\left( \dfrac{5\pi}{3} \right)-\cos\left( -3\pi \right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}-\left( -1 \right)=\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{4}.$
	\item $\cos^2\left( \dfrac{-\pi}{11} \right)+\sin^2\left( -\dfrac{\pi}{11} \right)=1.$
  \end{enumerate}


\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item
	\begin{enumerate}
	  \item $x=-\dfrac{\pi}{3}.$
	  \item $x=2\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{3}.$
	\end{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item Par lecture sur le cercle trigonométrique :$x=\dfrac{4\pi}{3}.$
	  \item $x$ est de la forme $x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$ où $k\in\GZ.$ Cherchons pour quelles valeurs de $k$ on a $x\in\Intfo{\dfrac{7\pi}{2}}{\dfrac{9\pi}{2}}.$  
		\begin{itemize}
		  \item Premier cas : $x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi.$
			\renewcommand{\arraystretch}{1.9}
			\[\begin{array}{rrcrl} 
				\dfrac{7\pi}{2}   & \leq  &   -\dfrac{\pi}{3}+2k\pi & \leq & \dfrac{9\pi}{2}  \\ 
				\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{3}   & \leq  &   2k & \leq & \dfrac{9}{2}+\dfrac{1}{3}  \\ 
				\dfrac{23}{12}   & \leq  &   k & \leq & \dfrac{29}{12}  \\ 
			\end{array}\]
			$\dfrac{23}{12}\approx 1,92$ et $\dfrac{29}{12}\approx 2,42.$ Ainsi, pour cette inéquation la seule valeur de $k$ convient est $k=2.$ Avec cette valeur, on calcule $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\times 2\pi= \dfrac{11\pi}{3}.$
		  \item Deuxième cas : $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi.$
\renewcommand{\arraystretch}{1.9}
			\[\begin{array}{rcccl} 
				\dfrac{7\pi}{2}   & \leq  &   -\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi & \leq & \dfrac{9\pi}{2}  \\ 
				\dfrac{7}{2}+\dfrac{2}{3}   & \leq  &   2k & \leq & \dfrac{9}{2}+\dfrac{2}{3}  \\ 
				\dfrac{25}{12}   & \leq  & k   & \leq & \dfrac{31}{12}  \\ 
			\end{array}\]
			Comme $\dfrac{25}{12}\approx 2,08$ et $\dfrac{31}{12}\approx 2,58,$ aucune valeur de $k$ ne convient pour cette inéquation.
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item  Démontrons le résultat plus général : soit $m$ et $n$ des réels tels que $m^2+n^2\ne 0,$
	\[\exists x\in\GR, \ m\sin\left( x \right)+n\cos\left( x \right)=l \iff m^2+n^2\geq l.\]
	l'expression $\left( E \right)$ $m\sin\left( x \right)+n\cos\left( x \right)=l$ peut se réécrire $\dfrac{m}{\sqrt{m^2+n^2}}\sin\left( x \right)+\dfrac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}=\dfrac{l}{\sqrt{m^2+n^2}}.$

	Considérons le point $M\left( \dfrac{m}{\sqrt{m^2+n^2}}, \dfrac{n}{\sqrt{m^2+n^2}} \right).$ Le point $M$ est sur le cercle trigonométrique, par conséquent, il existe $\alpha\in\GR$ tel que $M\left( \cos\left( \alpha \right), \sin\left( \alpha \right) \right).$ On en déduit que $\cos\left( \alpha \right)=\dfrac{m}{\sqrt{m^2+n^2}}$ et $\sin\left( \alpha \right)=\dfrac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}.$

	$\left( E \right)$ peut donc se réécrire $\cos\left( \alpha \right)\sin\left( x \right)+\sin\left( \alpha \right)\cos\left( x \right)=\dfrac{l}{\sqrt{m^2+n^2}}.$

	Or $\sin\left( a+b \right)=\sin\left( a \right)\cos\left( b \right)+\sin\left( b \right)\cos\left( a \right).$

	Pour ceux qui ne connaissent pas cette formule voici une démonstration élémentaire (sans utilisation du produit scalaire).

	 On considère le triangle $ABC,$ rectangle en $A$ tel que $\widehat{ABC}=a$ et $BC=1.$ Puis le triangle $BCD,$ rectangle en $C$ et tel que $\widehat{CBD}=b.$

	Il s'agit d'évaluer $\sin\left( a+b \right)$ en considérant le triangle $BDE$ rectangle en $E.$

	On a $DB=\dfrac{1}{\cos\left( b \right)}$ et $CD=\tan\left( b \right).$

	On montre facilement que $\widehat{CDH}=a$ et donc $DH=\dfrac{\tan\left( b \right)}{\cos\left( a \right)}$ et $CH= \tan\left( a \right)\tan\left( b \right).$

	On en déduit que $HB=1-\tan\left( a \right)\tan\left( b \right)$ puis $HE=\sin\left( a \right)\left( 1-\tan\left( a \right)\tan\left( b \right) \right).$

	Ainsi,
	\setlength{\jot}{10pt}
	\begin{align*} 
	  \sin\left( a+b \right)   &=  \dfrac{DH+HE}{DB} \\ 
	  &= \cos\left( b \right)\left( \dfrac{\tan\left( b \right)}{\cos\left( a \right)}+\sin\left( a \right)\left( 1-\tan\left( a \right)\tan\left( b \right) \right) \right) \\ 
	  &= \dfrac{\sin\left( b \right)}{\cos\left( a \right)}+\sin\left( a \right)\cos\left( b \right)-\dfrac{\sin^2\left( a \right)\sin\left( b \right)}{\cos\left( a \right)} \\ 
	  &= \sin\left( b \right)\dfrac{1-\sin^2\left( a \right)}{\cos\left( a \right)}+\sin\left( a \right)\cos\left( b \right) \\ 
	   &= \sin\left( a \right)\cos\left( b \right)+\sin\left( b \right)\cos\left( a \right) \\ 
	\end{align*}

	\begin{center}
\newrgbcolor{ududff}{0.30196 0.30196 1}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196 0.490196 1}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-11.579393,1.9592)(-5.549148,8.0593)
\psline[linewidth=1pt](-11,3)(-7,3)
\psline[linewidth=1pt](-11,3)(-11,5)
\psline[linewidth=1pt](-11,5)(-7,3)
\psline[linewidth=1pt](-11,5)(-9.52,7.31)
\psline[linewidth=1pt](-9.52,7.31)(-7,3)
\psline[linewidth=1pt](-11,3.159058)(-10.86216,3.16429)
\psline[linewidth=1pt](-10.86216,3.16429)(-10.856,3.02821)
\psline[linewidth=1pt](-10.91743,5.1288669)(-10.815055,5.069412)
\psline[linewidth=1pt](-10.81505,5.069412)(-10.88190,4.9409)
\psline[linewidth=1pt](-10.86216,3.16429)(-10.856,3)
\psline[linewidth=1pt](-9.52,7.31)(-9.5,3)
\psline[linewidth=1pt](-9.5008,3.1724091)(-9.30272,3.180)
\psline[linewidth=1pt](-9.302,3.180)(-9.28,3)
\parametricplot[linewidth=1pt]{2.67794}{3.141592}{1*0.63660*cos(t)+0*0.63662*sin(t)+-7|0*0.6366*cos(t)+1*0.63660*sin(t)+3}
\parametricplot[linewidth=1pt]{2.0998}{2.6779}{1*1.2216171*cos(t)+0*1.22161*sin(t)+-7|0*1.2216*cos(t)+1*1.22161*sin(t)+3}
\rput[tl](-8.021,3.2){$a$}
\rput[tl](-7.9787,4.24){$b$}
\rput[tl](-9.18,4.5985){$1$}
\parametricplot[linewidth=1pt]{4.1425}{4.7170}{1*0.786*cos(t)+0*0.786054*sin(t)+-9.52|0*0.786*cos(t)+1*0.7860*sin(t)+7.31}
\rput[tl](-9.88,6.3){$a$}
\rput[tl](-8.10107,5.629){$\dfrac{1}{\cos\left( b \right)}$}
\rput[tl](-11.12494,6.468){$\tan\left( b \right)$}
\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](-11,3)
\rput[bl](-10.932,3.1827){\ududff{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](-7,3)
\rput[bl](-6.92,3.18){\ududff{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](-11,5)
\rput[br](-10.932,5.175){\ududff{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](-9.52,7.31)
\rput[bl](-9.446,7.482){\ududff{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-9.5,3)
\rput[bl](-9.429,3.18273){\xdxdff{$E$}}
%\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-9.505,4.2525)
\rput[br](-9.489,4.3887){\darkgray{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
	\end{center}
	On peut maintenant conclure : il existe $x\in\GR $ tel que $m\sin\left( x \right)+n\cos\left( x \right)=l$ si, et seulement si, il existe $x\in\GR$ tel que $\sin\left( x+\alpha \right)=\dfrac{l}{\sqrt{m^2+n^2}}$ où $\alpha$ est défini comme précédemment.

	L'équation $ \sin\left( x+\alpha \right)=\dfrac{l}{\sqrt{m^2+n^2}}$ possède des solutions si, et seulement si, $-1\leq \dfrac{l}{\sqrt{m^2+n^2}}\leq 1$ \ie $m^2+n^2 \geq 1.$
  \item Pour tout $x\in\GR,$
	$\left( \sin\left( x \right)+a\cos\left( x \right) \right)^2+\left( a\sin\left( x \right)-\cos\left( x \right) \right)^2=a^2+1.$

	Par conséquent, si $\sin\left( x \right)+a\cos\left( x \right)=b$ alors $\abs{a\sin\left( x \right)-\cos\left( x \right)}=\sqrt{a^2-b^2+1}.$

\end{enumerate}



















\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
