\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{premiere-spe-math}
\chead{}\rhead{Contrôle~: suites (2h)}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: suites (2h)}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE suite-10.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
\'Etudier la monotonie des suites $u$ définies pour tout entier $n$ par :

  \setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{Sliste}
\item $u_n=n-n^2$
%\item $u_n=\sqrt{n^2+4}$
%\item $u_n=\obfrac{3^n}{n+2}$
\item $\begin{cases}
u_0&=-2 \\
u_{n+1}&=5+u_n
\end{cases}$
\item $\begin{cases}
u_0&=-1 \\
u_{n+1}&=0,3u_n
\end{cases}$
\item $\begin{cases}
u_0&=-2 \\
u_{n+1}&=u_n+2u_n^2
\end{cases}$
\end{Sliste}



\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE PS001.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
%NK:Premiere/Suites/exo-001/texte.tex
%Toutes les réponses seront données sous la forme:
%\begin{listerd}
%	\item d'une expression litérale,
%	\item d'un calcul posé
%	\item et enfin d'une application numérique.
%\end{listerd}

%Cette dernière étant la moins côtée des trois.

\begin{enumerate}

\item Soit $(u_n)_{n\in\GN}$ une suite arithmétique de premier terme 3 
	et de raison $-4$.

	Déterminer $u_7$, $u_{18}$ et $\displaystyle{\sum_{i=7}^{18}u_i}$.


\item Soit $(u_n)_{n\in\GN^*}$ une suite géométrique de premier terme 5 
	et de raison $-\cfrac{1}{2}$.

	Déterminer $u_7$, $u_{18}$ et $\displaystyle{\sum_{i=7}^{18}u_i}$.

\item Soit $(u_n)_{n\in\GN}$ une suite arithmétique.
	On donne $u_4=7$ et $u_7=1$.

	Déterminer la raison et le premier terme de cette suite.

\item Soit $(u_n)_{n\in\GN}$ une suite géométrique.
	On donne $u_4=4$ et $u_7=108$.

	Déterminer la raison et le premier terme de cette suite.

\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE suite-09.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
On définit la suite $\left( u_{n} \right)$ par $u_{0}=1$ et, pour tout $n\in\GN,$ \[u_{n+1}=u_{n}+\left( \dfrac{2}{3} \right)^n.\]
\begin{enumerate}
  \item La suite $\left( u_n \right)$ est-elle géométrique ?
  \item \'Etudier les variations de la suite $\left( u_{n} \right).$
  \item On pose, pour tout $n\in\GN,$ $v_{n}=u_{n+1}-u_n.$
	\begin{enumerate}
	  \item Montrer que la suite $\left( v_n \right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}.$
	  \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n.$
	  \item Calculer $S_{n}=v_{0}+v_2+\ldots+v_n$ en fonction de $n.$
	  \item En déduire l'expression de $u_{n+1}$ puis de $u_n$ en fonction de $n.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}





























\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE PS016.tex
%%%%% Exo  4 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
%NK:Premiere/Suites/exo-016/texte.tex
\begin{minipage}{6cm}
Quelle est la surface de l'aire grisée sur la figure ci-contre?

Données: $AB=6\;$cm et $AM=\dfrac{1}{4}AB$.
\end{minipage}
\quad
\quad
\begin{minipage}{6.9cm}
\hfill\includegraphics{PS016-figure.1.ps}
\end{minipage}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE suites-olympiades-01.tex
%%%%% Exo  5 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Soit $\left( u_{n} \right)_{n\in\GN^*}$ une suite dont tous les termes sont des réels strictement positifs et tels que 
\[\forall k\in\GN^*,\ \  u_k-2u_{k+1}+u_{k+2}\geq 0 \et \sum_{i=1}^ku_{i}\leq 1.\]
Montrer que
\[\forall k\in\GN^*,\ \ 0\leq u_k-u_{k+1}\leq \dfrac{2}{k^2}.\]

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item Soit $n\in\GN.$ $u_{n+1}-u_{n}=\left( n+1 \right)-\left( n+1 \right)^2-\left( n-n^2 \right)=n+1-n^2-2n-1-n+n^2=-2n\leq 0.$ La suite $\left( u_{n} \right)$ est donc décroissante.
  \item Soit $n\in\GN.$ $u_{n+1}-u_n=5\geq 0.$ La suite $\left( u_n \right)$ est croissante.
  \item La suite $\left( u_n \right)$ est une suite géométrique de raison $0,3$ et de premier terme $u_0=-1,$ par conséquent l'expression de son terme général est $u_{n}=-\left( 0,3 \right)^n.$

	Soit $n\in\GN.$ $u_{n+1}-u_{n}= -\left( 0,3 \right)^{n+1}+0,3^n=0,7\times 0,3^n \geq 0.$
	La suite $\left( u_n \right)$ est donc croissante.
  \item Soit $n\in\GN.$ $u_{n+1}-u_{n}= 2u_{n}^2\geq 0.$
	La suite $\left( u_n \right)$ est donc croissante.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item 
	\begin{itemize}
	  \item $u_{7}=3-4\times 7=-25$
	  \item $u_{18}=3-4\times 18=-69$
	  \item $\displaystyle{\sum_{i=7}^{18}u_i}=\left( 18-7+1 \right)\times \dfrac{-25-69}{2}=-564$
	\end{itemize}
  \item 
	\begin{itemize}
	  \item 
	$u_{7}=5\times \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{7}=-\dfrac{5}{128}$
  \item $u_{18}=5\times \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{18}=\dfrac{5}{\nombre{26144}}$
  \item $\displaystyle{\sum_{i=7}^{18}u_i}=-\dfrac{5}{128}\dfrac{1-\left( -\dfrac{1}{2}
	\right)^{12}}{1+\dfrac{1}{2}}= -\dfrac{5}{128}\times \dfrac{2}{3}\times
	\dfrac{2^{12}-1}{2^{12}}=-\dfrac{\nombre{6825}}{\nombre{262144}}\approx -0,026$
	\end{itemize}
  \item D'une part 
	{\setlength{\jot}{10pt}
	\begin{align*} 
	  u_{7}   &=  u_{4}+\left( 7-4 \right)r \\ 
	  1 &= 7+3r \\ 
	  r &= -2,  
	\end{align*}}
	d'autre part,
	{\setlength{\jot}{10pt}
	\begin{align*} 
	  u_{4}   &=  u_{0}-2\times 4 \\ 
	  u_{0} &= 15. 
	\end{align*}}
  \item D'une part 
	{\setlength{\jot}{10pt}
	\begin{align*} 
	  u_{7}   &=  u_{4}q^{3} \\ 
	  108 &= 4q^3 \\ 
	   q^3&= 27 \\
	   q&=3,
	\end{align*} }
	d'autre part,
	{\setlength{\jot}{10pt}
	\begin{align*} 
	  u_{4}   &=  u_{0}\times 3^4 \\ 
	  u_{0} &= \dfrac{4}{3^4}=\dfrac{4}{81}. 
	\end{align*}}
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item Un rapide calcul donne $\dfrac{u_{1}}{u_{0}}=2$ et $\dfrac{u_{2}}{u_{1}}=\dfrac{4}{3}.$ $\dfrac{u_1}{u_0}\ne \dfrac{u_2}{u_1},$ par conséquent, la suite $\left( u_n \right)$ n'est pas géométrique.
  \item Soit $n\in\GN$, $u_{n+1}-u_n=\left( \dfrac{2}{3} \right)^n\geq 0.$ La suite $\left( u_n \right)$ est donc  croissante.
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item Soit $n\in\GN.$ 
		\setlength{\jot}{5pt}
		\begin{align*} 
		  \dfrac{2}{3}v_{n}  &=  \dfrac{2}{3}\left( u_{n+1}-u_{n} \right) \\ 
		  &=\left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1}  \\ 
		  &= u_{n+2}-u_{n+1} \\ 
		  &= v_{n+1} \\ 
		\end{align*}
		La suite 	$\left( v_{n} \right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{3}.$
	  \item Pour tout $n\in\GN,$ $v_{n}=\left( \dfrac{2}{3} \right)^n.$
	  \item Soit $n\in\GN.$ $\dfrac{2}{3}\ne 1$ donc
		\[S_{n}=\dfrac{1-\left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1}}{1-\dfrac{2}{3}}=3\left( 1-\left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1} \right).\]
	  \item Soit $n\in\GN.$


		\[S_n=\left(u_{1}-u_{0}\right)+\left( u_2-u_1 \right)+\ldots+\left( u_{n+1}-u_{n} \right)=u_{n+1}-u_{0},\]
		d'où
		\[u_{n+1}=1+3\left( 1-\left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1} \right)\]
		puis
		\[u_{n}=1+3\left( 1-\left( \dfrac{2}{3} \right)^n \right).\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
























\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{itemize}
  \item Soit $\left( A_n \right)$ la suite des aires des carrés de la figure et $n\in\GN.$

	Si $A_n$ est l'aire du $n+1-\text{ième}$ carré alors 
	\[A_{n+1}=\left( \dfrac{\sqrt{A_n}}{4} \right)^2+\left( \dfrac{3\sqrt{A_{n}}}{4} \right)^2=\dfrac{10A_n}{16}=\dfrac{5A_n}{8}.\]

	La suite $\left( A_n \right)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{5}{8}$ et de premier terme $A_0=36.$

	On en déduit que, pour tout $n\in\GN,$ $A_{n}=36\times\left( \dfrac{5}{8} \right)^n.$
  \item Pour un carré d'arête $a,$ l'aire grisée vaut :
	\[\dfrac{a}{4}\times\dfrac{3}{4}a\times\dfrac{1}{2}\times 4=\dfrac{3a^2}{8}.\]

	Si $\left( u_{n} \right)$ est la suite des aires grisées des carrés de la figure alors, pour tout $n\in\GN,$ étant donné que les carrés ne sont grisés qu'une fois sur deux :
	\[u_n=\dfrac{3}{8}A_{2n}=\dfrac{3}{8}\times 36 \left( \dfrac{5}{8} \right)^{2n}=\dfrac{27}{2}\left( \dfrac{25}{64} \right)^n.\]

	L'aire cherchée est donc la limite de la somme 
	\[S_{n}=u_{0}+\ldots+u_n=\dfrac{27}{2}\dfrac{1-\left( \dfrac{25}{64} \right)^{n+1}}{1-\dfrac{25}{64}}=\dfrac{288}{13}\left( 1-\left( \dfrac{25}{64} \right)^{n+1} \right).\]

	Comme $0\leq \dfrac{25}{64} < 1,$ $\Lim[n]{+\infty}{\left( \dfrac{25}{64} \right)^{n+1}}=0.$ On en déduit que l'aire cherchée vaut $\dfrac{288}{13}.$
\end{itemize}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item Montrons que pour tout $k\in\GN^*,$ $0\leq u_k-u_{k+1}.$

	Supposons qu'il existe $n\in\GN$ tel que $ u_{n}-u_{n+1}<0.$ 
	Ceci revient à supposer l'existence d'un réel $\alpha <0$ tel que $u_{n}-u_{n+1} \leq \alpha <0.$

	D'après l'énoncé, pour tout $k\in\GN,$ $u_{k+1}-u_{k+2} \leq u_{k}-u_{k+1}.$ Il s'en suit que, pour tout $m\geq n,$ 
	\[u_{n}-u_{m} = \left( u_{n}-u_{n+1} \right)+\left( u_{n+1}-u_{n+2} \right)\ldots+\left( u_{m-1}-u_{m} \right)\leq \left( m-n \right)\alpha. \] 
	On obtient alors 
	\[u_{n}-\left( m-n \right)\alpha \leq u_{m}.\]
	Comme $\alpha <0,$ $-\left( m-n \right)\alpha > 0$ et pour $m$ suffisamment grand $u_{m}> 1$ ce qui est impossible car les termes de $\left( u_{n} \right)$ sont strictement positifs et $\displaystyle \sum_{i=1}^ku_{i}\leq 1$ pour tout $k\in\GN.$ 
  \item Montrons que, pour tout $k\in\GN^{*},$ $u_{k}-u_{k+1}\leq \dfrac{2}{k^2}.$

	Supposons qu'il existe un rang $n$ tel que $ \dfrac{2}{n^2} \leq u_{n}-u_{n+1}.$ Pour tout $m\leq n$ et $m\geq 1,$
	\[\dfrac{2}{n^2}\leq u_{n}-u_{n+1}\leq u_{n-1}-u_{n}\leq \ldots \leq u_{m}-u_{m-1},\]
	ce qui donne en sommant les inégalités et en télescopant les termes :
	\[\dfrac{2}{n^2}\left( n-m+1 \right)+u_{n+1}\leq u_{m}.\]
	En sommant ces inégalités pour $m$ allant de $1$ à $n$ on obtient :
	\[nu_{n+1}+\left( 1+2+\ldots+n \right)\dfrac{2}{n^2}\leq \sum_{i=1}^n u_{i}.\]
	$\left( 1+\ldots+n \right)\dfrac{2}{n^2}=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{n^2} =\dfrac{n+1}{n}>1,$ il en découle que $\displaystyle \sum_{i=1}^n u_{i}>1,$ ce qui contredit l'hypothèse.

\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
