\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{premiere-spe-math}
\chead{}\rhead{Contrôle~: second degré}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: second degré}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE second-degre21.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Soient $f$ et $g$ les fonctions polynôme du second degré définies par $f\left( x
\right)=-4x^2-3x+10$ et \mbox{$g\left( x \right)=3x^2-4x+5$.}
\begin{enumerate}
  \item Résoudre l'équation $f\left( x \right)=0$.
  \item Résoudre l'inéquation $f\left( x \right)<0$.
  \item Déterminer et justifier le plus grand ensemble de définition possible pour une fonction
	$h$ dont l'expression est $h\left( x \right)=\sqrt{-4x^2-3x+10}$.
  \item Résoudre l'équation $g\left( x \right)=0$.
  \item Résoudre l'inéquation $g\left( x \right)\geq 0$.
  \item Si cela est possible, factoriser $f\left( x \right)$ et $g\left( x \right)$.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE second-degre36.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Résoudre l'inéquation suivante :
\[\dfrac{-3x^2+9x+30}{ 2x^2+2x-12}\leq 0.\]

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE somme-produit-des-racines-03.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
  Résoudre les systèmes suivants :
  \setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{3}
  \begin{enumerate}
	\item $ \begin{systeme}{2} x+y&=& -7\\ xy&=& 10 \end{systeme} $
	\item $ \begin{systeme}{2} x+y&=& 2\\ xy&=& 3 \end{systeme} $
	\item $ \begin{systeme}{2} x-y&=& -6\\ xy&=& 9 \end{systeme} $
  \end{enumerate}
\end{multicols}


\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE second-degre35.tex
%%%%% Exo  4 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
On dispose d'une ficelle longue de 1 mètre que l'on coupe en deux. Avec un des morceaux on forme un
carré, et avec l'autre, on forme un rectangle dont la longueur est le triple de sa largeur.

\textbf{Objectif :} minimiser la somme des aires du carré et du rectangle.


\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(0,1.5)(20,7.5)
  \psline[linewidth=4pt, arrows=cc-, linecolor=gray](0,6)(6,6)
  \psline[linewidth=4pt, arrows=-cc](6,6)(20,6)
  \pspolygon[linewidth=2pt](2,2.5)(4,2.5)(4,4.5)(2,4.5)
  \pspolygon[linewidth=2pt](10.665,2.5)(15.335,2.5)(15.335,4.83)(10.665,4.83)
  %\MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{0}{0}{20}{8}
  %\MaGrille[5,xunit=1,yunit=1]{0}{0}{20}{8}
  % {espace}[angle]{rotation}(x,y){objet}
  \uput{0.2}[90]{0}(3,6){$x$}
  \uput{0.2}[90]{0}(13,6){$1-x$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item Montrer que l'aire du carré est égale à $\dfrac{1}{16}x^2.$
	  \item Montrer que l'aire du rectangle vaut $\dfrac{3}{64}\left( 1-x \right)^2$.
	\end{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item  Montrer que $\dfrac{x^2}{16}+ \dfrac{3}{64}\left( 1-x \right)^2= \dfrac{7x^2-6x+3}{64}.$
	  \item Mettre sous forme canonique le trinôme $ 7x^2-6x+3.$
	  \item En déduire la forme canonique du trinôme $ \dfrac{7x^2-6x+3}{64}.$

  \item Déterminer la valeur minimale de la somme des aires du carré et du rectangle et pour quelle
	valeur de $x$ elle est atteinte.
	\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item $f\left( x \right)=0 \iff -4x^2-3x+10=0.$

	$\Delta = 169,$ $x_{1}=-2$ et $x_{2}=\dfrac{5}{4}.$
  \item Comme $-4<0,$ le tableau de signes est :
	\begin{center}
\begin{MonTableau}{1}{8.5}{1.1}

    \TabTitreFerme
    \TabFerme

    \TabNewCol{0}
    \rTabPut{B}{-.8}{.25}{$x$}
    \rTabPut{B}{-.8}{.25}{$f\left( x \right)$}

    \TabNewCol{0}
    \rTabPut{Bl}{.15}{.25}{$-\infty$}

    \TabNewCol{.33}
    \rTabPut{B}{0}{.33}{$-2$}
    \rTabPut[2]{B}{0}{.40}{\TabZ}

    \TabNewCol{.66}
	\rTabPut{B}{0}{.25}{$ \frac{5}{4}$}
    \rTabPut[2]{B}{0}{.40}{\TabZ}

    \TabNewCol{1}
    \rTabPut{Br}{-.15}{.25}{$+\infty$}

    \rput(.165,.5){$-$}
    \rput(.495,.5){$+$}
    \rput(.825,.5){$-$}

 \end{MonTableau}
	  
	\end{center}
  \item $h$ est définie si, et seulement si, $-4x^2-3x+10 \geq 0,$  ainsi $\mathcal{D}_{h}=\Intff{-2}{\dfrac{5}{4}}.$
  \item $g\left( x \right)=0\iff 3x^2-4x+5=0.$

	$\Delta =-44,$ cette équation n'a pas de solution.
  \item $g\left( x \right)\geq 0 \iff x\in\GR.$
  \item 
	\begin{itemize}
	  \item D'après ce qui précède, $f\left( x \right)=-4\left( x+2 \right)\left( x-\dfrac{5}{4} \right).$
	  \item $g\left( x \right)$ ne se factorise pas davantage.
	\end{itemize}
\end{enumerate}


























\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{itemize}
  \item Valeurs interdites :

	$2x^2+2x-12=0\iff x^2+x-6=0.$

	$\Delta=25, $ $x_{1}=2$ et $x_{2}=-3.$
  \item \'Etude du numérateur :

	$-3x^2+9x+30=0 \iff x^2-3x-10=0.$

	$\Delta= 49,$ $x_{1}= 5$ et $x_{2}=-2.$
  \item Tableau de signes :
	\begin{center}
	  \setlength{\TabTitreL}{3cm}
    \begin{MonTableau}{3}{8.5}{1.2}

        \TabTitreFerme
        %\TabEfface{2}
        \TabFerme

        \TabNewCol{0}
        \rTabPut{B}{-1.5}{.25}{$x$}
        \rTabPut{B}{-1.5}{.45}{$-3x^2+9x+30$}
        \rTabPut{B}{-1.5}{.45}{$2x^2+2x-12$}
		\rTabPut{B}{-1.5}{.45}{$\dfrac{-3x^2+9x+30}{2x^2+2x-12}$}

        \TabNewCol{0}
        \rTabPut{Bl}{.15}{.25}{$-\infty$}

        \TabNewCol{.2}
        \rTabPut{B}{0}{.25}{$-3$}
        \rTabPut[2]{B}{0}{.40}{}
        \rTabPut[2]{B}{0}{.40}{\TabZ}
        \rTabPut[3]{B}{0}{.40}{}

        \TabNewCol{.4}
        \rTabPut{B}{0}{.25}{$-2$}
        \rTabPut[2]{B}{0}{.40}{\TabZ}
        \rTabPut[2]{B}{0}{.40}{}
        \rTabPut[2]{B}{0}{.40}{\TabZ}

        \TabNewCol{.6}
        \rTabPut{B}{0}{.25}{$2$}
        \rTabPut[2]{B}{0}{.40}{}
        \rTabPut[2]{B}{0}{.40}{\TabZ}
        \rTabPut[3]{B}{0}{.40}{}

        \TabNewCol{.8}
        \rTabPut{B}{0}{.25}{$5$}
        \rTabPut[2]{B}{0}{.40}{\TabZ}
        \rTabPut[2]{B}{0}{.40}{}
        \rTabPut[2]{B}{0}{.40}{\TabZ}




        \TabNewCol{1}
        \rTabPut{Br}{-.15}{.25}{$+\infty$}

        \rput(.1,2.5){$-$}
        \rput(.3,2.5){$+$}
        \rput(.5,2.5){$-$}
        \rput(.7,2.5){$+$}
        \rput(.9,2.5){$-$}

        \rput(.1,1.5){$+$}
        \rput(.3,1.5){$-$}
        \rput(.5,1.5){$-$}
        \rput(.7,1.5){$+$}
        \rput(.9,1.5){$+$}

        \rput(.1,.5){$-$}
        \rput(.3,.5){$-$}
        \rput(.5,.5){$+$}
        \rput(.7,.5){$+$}
        \rput(.9,.5){$-$}

    \end{MonTableau}
	\end{center}
  \item Conclusion :
	\[\dfrac{-3x^2+9x+30}{2x^2+2x-12}\leq 0\iff x\in\Intoo{-\infty}{-3}\cup \Intfo{-2}{2}\cup \Intfo{-2}{2}\cup \Intfo{5}{+\infty}.\]
\end{itemize}




























\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item $x$ et $y$ sont solutions de l'équation $X^2+7X+10=0.$

	$\Delta = 9,$ $X_{1}=-5 $ et $X_{2}=-2.$

	L'ensemble des solutions est : $S=\Bigset{\left( -5 \pv -2 \right), \left( -2\pv -5 \right)}.$
  \item $x$ et $y$ sont solutions de l'équation $X^2-2X+3=0.$

	$\Delta=-8.$ Aucun couple n'est solution de ce système.
  \item  Posons $X=x$ et $Y=-y.$ Le système devient :
	$ \begin{systeme}{2} X+Y&=& -6\\ XY&=& -9 \end{systeme}.$

	$X$ et $Y$ sont donc solutions de l'équation $Z^2+6Z-9=0.$

	$\Delta = 72,$ $Z_{1}=-3-3\sqrt{2}$ et $Z_{2}=-3+3\sqrt{2}.$

	Ainsi $\left( X,Y \right)=\left( -3-3\sqrt{2},-3+3\sqrt{2} \right)$ ou $\left( X,Y \right)=\left(  -3+3\sqrt{2}, -3-3\sqrt{2} \right).$

	On en déduit que :

	$\left( x,y \right)=\left(   -3-3\sqrt{2}, 3-3\sqrt{2} \right)$ ou $\left( x,y \right)= \left( -3+3\sqrt{2}, 3+3\sqrt{2} \right).$
\end{enumerate}



















\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item La longueur d'un coté est $\dfrac{x}{4},$ l'aire du carré vaut donc $\left( \dfrac{x}{4} \right)^2=\dfrac{x^2}{16}.$
	  \item Notons $L$ la largeur du rectangle et $l$ sa longueur. D'après l'énoncé, nous avons :
		\[
		  \begin{systeme}{2}
			2L+2l&=& 1-x\\
			l&=& 3L
			
		  \end{systeme}
		  \iff 
		  \begin{systeme}{2}
			4L&=& \dfrac{1-x}{2}\\
			l&=& 3L
			
		  \end{systeme}
		  \iff
		  \begin{systeme}{2}
			L&=& \dfrac{1-x}{8}\\
			l&=& \dfrac{3\left( 1-x \right)}{8}
			
		  \end{systeme}
		\]
		On en déduit l'expression de l'aire du rectangle : 
		\[L\times l=\dfrac{3\left( 1-x \right)^2}{64}.\]
	\end{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item 
		{\setlength{\jot}{10pt}
		\begin{align*} 
		  \_{A}_{\text{carré}}+\_{A}_{\text{rectangle}}   &=  \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{3}{64}\left( 1-x \right)^2 \\ 
		  &= \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{3}{64}\left( 1-2x+x^2 \right) \\ 
		  &= \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{3}{64}-\dfrac{6x}{64}+\dfrac{3x^2}{64}  \\ 
		  &= \dfrac{7x^2-6x+3}{64} \\ 
		\end{align*}}
	  \item 
		{\setlength{\jot}{10pt}
		\begin{align*} 
		  7x^2-6x+3   &=  7\left( x^2-\dfrac{6}{7}x+\dfrac{3}{7} \right) \\ 
		  &= 7\left( \left( x-\dfrac{3}{7} \right)^2 -\dfrac{9}{49}+\dfrac{3}{7}\right) \\ 
		  &= 7\left( \left( x-\dfrac{3}{7} \right)^2+\dfrac{12}{49} \right) \\ 
		  &= 7\left( x-\dfrac{3}{7} \right)^2+\dfrac{3}{112} \\ 
		\end{align*}}
	  \item $\dfrac{7x^2-6x+3}{64}=\dfrac{7}{64}\left( x-\dfrac{3}{7} \right)^2+\dfrac{3}{112}.$
	  \item $\dfrac{7x^2-6x+3}{64}$ est la somme de deux nombres positifs. Cette somme est minimale lorsque $\dfrac{7}{64}\left( x-\dfrac{3}{7} \right)^2$ est nulle \ie pour $x=\dfrac{3}{7}.$ L'aire minimale vaut donc $\dfrac{3}{112}.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}




























\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
