\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\lhead{premiere-spe-math}
\chead{}\rhead{Contrôle~: probabilités conditionnelles (1 h 30 )}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: probabilités conditionnelles (1 h 30 )}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE proba-conti-01.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}

Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}$.

Dans un pays, il y a 2\,\% de la population contaminée par un virus.


On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de $0,99$ (sensibilité du test).
\item La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de $0,97$ (spécificité du test).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.

On note $V$ l'évènement \og la personne est contaminée par le virus\fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg.

$\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $V$ et $T$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
 \begin{enumerate}
  \item Préciser les valeurs des probabilités $P(V),\, P_{V}(T),\, P_{\overline{V}}(\overline{T})$.

Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
  \item En déduire la probabilité de l'évènement $V \cap T$.
 \end{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que le test soit positif est \nombre{0,0492}.
\item
 \begin{enumerate}
  \item Justifier par un calcul la phrase :

\og Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg.
  \item Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE independance-02.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Jeanne prend son parapluie pour se rendre au travail un jour sur dix.

Elle a remarqué que lorsqu'elle avait son parapluie, il pleuvait dans $80~\%$ des cas et, lorsqu'elle ne l'avait pas, il pleuvait dans $15~\%$ des cas. \begin{enumerate}
  \item Montrer que la probabilité de l'événement $B$ : \og Il pleut \fg est égale à $ 0,215.$
  \item Les événements $A$ : \og Jeanne prend son parapluie \fg et $B $ sont-ils indépendants ?
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE proba-conditionnelles-03.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Dans un club d'arts martiaux, la moitié des adhérents pratique le judo, le tier le karaté, les autres l'aïkido. Pour chaque adhérent, une seule activité est possible parmi les trois proposées.

Les kimono sont identiques pour le judo et l'aïkido, mais différents pour le karaté.

\begin{enumerate}
  \item 
  On choisit au hasard un adhérent portant un kimono de type \og judo \fg. 

  Quelle est la probabilité qu'il pratique effectivement le judo ?
\item 
  Un judoka du club sur dix est ceinture noire, contre un aïkidoka sur huit et un karatéka sur six.

  On choisit au hasard un adhérent du club.

  Quelle est la probabilité qu'il soit ceinture noire dans sa discipline ?
\item 
  Un adhérent porte une ceinture noire et un kimono de type \og judo \fg.

Quelle est   La probabilité qu'il soit aïkidoka ?


\end{enumerate}


\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}

\begin{enumerate}
\item
 \begin{enumerate}
  \item D'après l'énoncé, on a : $P(V)0,02~;~P_{V}(T)=0,99~;~P_{\overline{V}}(\overline{T}) = 0,97$.

Traduisons la situation par un arbre de probabilités :

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\taput{\small $0,02$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0,99$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0,01$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{V}$}\tbput{\small $0,98$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0,03$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0,97$}
}
}
\end{center}

  \item %En déduire la probabilité de l'évènement $V \cap T$.
  $P(V \cap T)=P_{V}(T)\times P(V)=0,99\times 0,02=\np{0,0198}$

 \end{enumerate}
\item %Démontrer que la probabilité que le test soit positif est \np{0,0492}. $T=(V\cap T)\cup\left(V\cap\overline{T}\right)$ (réunion d'événements incompatibles).\\
  Par conséquent : $P(T)=P(T\cap V)+P\left(T\cap \overline{V}\right)=P\left( V \right)\times
  P_{V}(T)+P\left( \overline{V} \right)\times P_{\overline{V}}(T)$ (formule des probabilités totales).\\
  Alors : $P(T)=0,99\times 0,02+0,03\times 0,98=0,0492$.

\item
 \begin{enumerate}
  \item %Justifier par un calcul la phrase :

%\og Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg.
Il faut calculer $P_{T}(V)$. Or : $P_{T}(V)=\dfrac{P(V\cap T)}{P(T)}=\dfrac{\np{0,0198}}{\np{0,0492}}\approx \np{0,4024}$, soit environ 40\%. \\
Il n'y a bien qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg, sachant que le test est positif.

\item %Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
La probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif
est $P_{\overline{T}}\left(\overline{V}\right)=\dfrac{P\left(\overline{V}\cap\overline{T}\right)}{P(\overline{T})}=\dfrac{0,97\times 0,98}{1-\np{0,0492}}\approx \np{0,9997}$, c'est-à-dire environ 99,97\,\%.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item $A$ et $\overline{A}$ forment un système complets d'événements donc :
	{\setlength{\jot}{10pt}
	\begin{align*} 
	  P\left( B \right)   &=  P\left( A\cap B \right)+P\left( \overline{A}\cap B \right) \\ 
	   &= 0,1\times 0,8+0,9\times 0,15 \\ 
	   &= 0,215 \\ 
	\end{align*}}
  \item $P_{A}\left( B \right)=0,8 \ne P\left( B \right)$ donc les événements ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
On note 
\begin{itemize}
  \item $J$ l'événement \og l'adhérent pratique le judo \fg; 
  \item $K$ l'événement \og l'adhérent pratique le karaté \fg; 
  \item $A$ l'événement \og l'adhérent pratique l'aïkido \fg; 
  \item $Kj$ l'événement \og l'adhérent porte un kimono de type judo/aïkido \fg; 
\end{itemize}
\begin{enumerate}
  \item $P_{Kj}\left( J \right)=\dfrac{P\left( Kj\cap J \right)}{PKj}.$

	On a $J\subset Kj$ donc $P\left( Kj\cap J \right)= P\left( J \right)=\dfrac{1}{2}.$ Ainsi,

	$P_{Kj}\left( J \right)=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}}=\dfrac{3}{4}.$
  \item $J,$ $K$ et $A$ forment un système complet d'événements, par conséquent, la formule des probabilités totales donne  :
	\setlength{\jot}{10pt}
	\begin{align*} 
	  P\left( N \right)   &=  P\left( J\cap N \right)+P\left( K\cap N \right)+P\left( A\cap N \right) \\ 
	  &= \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{8} \\ 
	  &= \dfrac{91}{720}\equiv 0,126 \\ 
	\end{align*}
  \item $P_{N\cap Kj}\left( A \right)= \dfrac{P\left( Kj\cap A\cap N\right) }{P\left( Kj\cap N \right)}.$
	\begin{itemize}
	  \item 
		Calcul de $P\left( Kj\cap A\cap N\right)$ :
		\setlength{\jot}{10pt}
		\begin{align*} 
		  P\left( Kj\cap A\cap N\right) &= P\left( Kj\cap A \right)P_{Kj\cap N}\left( N \right) \\ 
		  &= P\left( Kj \right)P_{Kj\left( A \right)P_{Kj\cap A}\left( N \right)} \\ 
		\end{align*}

		Comme $A\subset Kj,$ $P_{Kj\cap A}\left( N \right)=P_{A}\left( N \right)=\dfrac{1}{8}.$

		De $P_{Kj}\left( J \right)+P_{Kj}\left( A \right)=1$ et la question 1. on en déduit que  $P_{Kj}\left( A \right)=\dfrac{1}{4}$ et comme $\dfrac{2}{3}$ des adhérents portent un kimono de type judo, il vient :

		$P\left( Kj\cap A\cap N\right)=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{8}= \dfrac{1}{48}$
	  \item Calcul de $P\left( Kj \cap N \right)$:
		\setlength{\jot}{10pt}
		\begin{align*} 
	P\left( Kj \cap N \right)	     &=  P\left( \left( Kj \cap N \cap A \right)\cup \left( Kj \cap N \cap J \right) \right) \\ 
	&= P\left( Kj \cap N \cap J \right) + P\left( Kj \cap N \cap J \right) \text{ car } J\cap A = \emptyset \\ 
	&= \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{10}+ \dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{8}  \\ 
	&= \dfrac{17}{240} \\ 
		\end{align*}
	\end{itemize}

	On en déduit :  $P_{N\cap Kj}\left( A \right)= \dfrac{\frac{1}{48}}{\frac{17}{240}}=\dfrac{5}{17}.$
\end{enumerate}

























\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
