\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\lhead{math-expertes}
\chead{}\rhead{Contrôle~: racines n-ième de l'unité}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: racines n-ième de l'unité}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE complexes-interpretation-geom-12-modif-01.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Résoudre dans $\GC,$  l'équation :
\[z^4=\sqrt{3}-\i.\]

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE complexes-interpretation-geom-17.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Suite à l'invasion du Groenland par les \'Etats-Unis, vous décidez de mener une attaque contre le pentagone. Aide nos valeureux généraux en déterminant les affixes des sommets du polygone régulier dessiné sur la figure ci-dessous.

%\psset{xunit=cm,yunit=<++>cm}

\begin{center}
  \begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
	% Dessin d'un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 2, tourné de -90°
  %  \pscircle[linecolor=blue](0,0){2} % Cercle de rayon 2
	\pspolygon[linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]%
	(2;0)(2;72)(2;144)(2;216)(2;288) % Sommets du pentagone tourné de -90°

	\MesAxes[.6pt,Dx=1,Dy=1]{-3}{-3}{3}{3}
	\uput{.2}[225](0,0){$O$}
	% Ajouter les points et leurs étiquettes
	\uput{2}[0](0,0){A}    % Point tourné de -90° (ancien sommet en haut)
	\uput{2}[72](0,0){B}   % Ancien sommet en haut à gauche
	\uput{2}[144](0,0){C}  % Ancien sommet en bas à gauche
	\uput{2}[216](0,0){D}  % Ancien sommet en bas à droite
	\uput{2}[288](0,0){E}  % Ancien sommet en haut à droite
  \end{pspicture}
\end{center}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE complexes-interpretation-geom-16.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Résoudre de deux façons différentes l'équation : $\left( 1+\i z \right)^5=\left( 1-\i z \right)^5$ et en déduire la valeur de $\tan\left( \dfrac{\pi}{5} \right).$

\textit{Ind :} $\left( a+b \right)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5.$

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\[\begin{array}{lcl} 
	z^4=\sqrt{3}-\i   & \iff &   z^4=2\expf{-\i\frac{\pi}{6}} \\ 
	& \iff & z^4=\left(2^{\frac{1}{4}}\expf{-\i\frac{\pi}{24}}\right)      \\ 
	& \iff & \left( \dfrac{z}{2^{\frac{1}{4}}\expf{-\i\frac{\pi}{24}}} \right)^4=1      \\ 
	& \iff & \dfrac{z}{2^{\frac{1}{4}}\expf{-\i\frac{\pi}{24}}}\in\Bigset{\expf{\i\frac{2k\pi}{4}},\ k\in\Intffn{0}{3}}      \\ 
	& \iff & z\in \Bigset{2^{\frac{1}{4}}\expf{\i\left( \frac{2k\pi}{4}-\frac{\pi}{24}\right)},\ k\in\Intffn{0}{3}}      \\ 
	& \iff & z\in \Bigset{2^{\frac{1}{4}}\expf{\i\pi \frac{12k-1}{24}},\ k\in\Intffn{0}{3}}      \\ 
	   \end{array}\]

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
% La correction est à faire: au boulot!
Pour aider nos généraux on peut résoudre l'équation $z^5=1$ puis multiplier par $2$ les solutions ou résoudre l'équation $\left( \dfrac{z}{2} \right)^5=1.$ L'ensemble des solutions est :
\[\Bigset{2\expf{\i \frac{2k\pi}{5}},\ k\in\Intffn{0}{4}}.\]


\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\textbf{Méthode 1} : L’équation équivaut à 
\[
\left( \frac{1+\i z}{1-\i z} \right)^5 = 1,
\]
car \( -\i \) n’est pas solution. Par suite, \( z \) en est solution si, et seulement si, l’on peut trouver \( k \in \Intffn{0}{4}\) tel que :
\[
\frac{1+\i z}{1-\i z} = \expf{\frac{2\i\pi k}{5}}.
\]
Comme \( \expf{\frac{2\i\pi k}{5}} \neq -1 \), cela équivaut à :
\[
z = \frac{\expf{\frac{\i\pi k}{5}} - \expf{-\frac{\i\pi k}{5}}}{\i \left( \expf{\frac{\i\pi k}{5}} + \expf{-\frac{\i\pi k}{5}} \right)}
= \frac{\expf{\frac{\i\pi k}{5}} - \expf{-\frac{\i\pi k}{5}}}{\i \expf{\frac{\i\pi k}{5}} + \i \expf{-\frac{\i\pi k}{5}}}
= \tan \frac{k\pi}{5}.
\]

\textbf{Méthode 2} : On développe en utilisant la formule du binôme. Pour tout nombre complexe \( u \), on a 
$
(1+u)^5 = u^5 + 5u^4 + 10u^3 + 10u^2 + 5u + 1.
$
L’équation équivaut donc à :
\[
\i z^5 + 5z^4 - 10\i z^3 - 10z^2 + 5\i z + 1 = -\i z^5 + 5z^4 + 10\i z^3 - 10z^2 - 5\i z + 1,
\]
c’est-à-dire à :
\[
z (z^4 - 10z^2 + 5) = 0,
\]
qui se résout facilement (si \( z \neq 0 \), \( z^2 \) est solution d’une équation du second degré). On trouve comme solutions :
\[
  \left\{ -\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}, \quad -\sqrt{5 - 2\sqrt{5}}, \quad 0, \quad \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}, \quad \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \right\}.
\]
Comme \( \tan \frac{\pi}{5} \in ]0,1] \), on a 
\[
  \tan \frac{\pi}{5} = \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}.
\]

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
