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\lhead{math-expertes}
\chead{}\rhead{Contrôle~: Complexes (interprétation géométrique) 1h30}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: Complexes (interprétation géométrique) 1h30}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE complexes-interpretation-geom-13.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\GC$ des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue $z$ :
\[z^2 - 8z + 64 = 0.\]

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \ouv.
\item On considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 4 + 4\text{i}\sqrt{3}$,

$b = 4 - 4\text{i}\sqrt{3}$ et $c = 8\text{i}$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer le module et un argument du nombre $a$.
  \item Donner la forme exponentielle des nombres $a$ et $b$.
  \item Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on déterminera le rayon.
  \item Placer les points A, B et C dans le repère \ouv.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}


Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question \textbf{2. d.} complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}

\item On considère les points A$'$, B$'$ et C$'$ d'affixes respectives $a' = a \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$, $b' = b\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $c' = c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que $b' = 8$.
  \item Calculer le module et un argument du nombre $a'$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

Pour la suite on admet que $a' = -4 + 4\text{i}\sqrt{3}$ et $c' = - 4\sqrt{3} + 4\text{i}$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}

\item On admet que si $M$ et $N$ sont deux points du plan d'affixes respectives $m$ et $n$ alors le milieu $I$ du segment $[MN]$ a pour affixe $\dfrac{m + n}{2}$ et la longueur $MN$ est égale à $|n - m|$.
 \begin{enumerate}
  \item On note $r$, $s$ et $t$ les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A$'$B],\: [B$'$C] et [C$'$A].

Calculer $r$ et $s$. On admet que $t = 2 - 2\sqrt{3} + \text{i}\left(2 + 2\sqrt{3}\right)$.
  \item Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ?

Justifier ce résultat.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE complexes-interpretation-geom-14.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=-x+2$ et $M$ un point du plan complexe d'affixe
$z$ non nulle, de module $\rho$ et d'argument $\theta.$
\begin{enumerate}
  \item Montrer que $M\in\mathcal{D}$ si, et seulement si, il existe
	$\rho\in\Intfo{\sqrt{2}}{+\infty}$ et $\theta\in\Intoo{-\dfrac{\pi}{4}}{\dfrac{3\pi}{4}}$ tels
	que $\rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left( \theta-\dfrac{\pi}{4} \right)}.$
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item En remarquant que
		$\dfrac{\expf{\text{i}\frac{\pi}{3}}}{\expf{\text{i}\frac{\pi}{4}}}=\expf{\text{i}\frac{\pi}{12}}$
		déterminer la valeur exacte de $\cos\left( \dfrac{\pi}{12} \right).$
	  \item Soit $H$ le projeté orthogonal de $O$ sur $\mathcal{D}.$ Déterminer les coordonnées du
		point $A$ de $\mathcal{D}$ tel que $\left( \vecteur{AH} , \vecteur{AO}
		\right)=\dfrac{\pi}{3}\ \left( 2\pi \right).$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
%% LaTeX2e file `exercice/MetropoleS2015-exo-3-cor'
%% generated by the `filecontents' environment
%% from source `MetropoleS2015-cor' on 2015/10/28.
%%


\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation CE) d'inconnue $z$ :
%\[z^2 - 8z + 64 = 0.\]
Soit l'équation $z^2 - 8z + 64 = 0$.

\noindent $\Delta=64-4\times 64=-3\times 64<0$.

\noindent L'équation a deux solutions complexes conjuguées :

\noindent $z_1=\dfrac{8+\mathrm{i}\sqrt{3\times 64}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{4+4\i\sqrt{3}}}$ et $z_2=\overline{z_1}=\boxed{\textcolor{red}{4-4\mathrm{i}\sqrt{3}}}$.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

\item On considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 4 + 4\text{i}\sqrt{3}$,\:  \\
$b = 4 - 4\text{i}\sqrt{3}$ et $c = 8\text{i}$. (figure à la fin de l'exercice)

 \begin{enumerate}
  \item %Calculer le module et un argument du nombre $a$.
  $\vert a\vert=\vert 4+4\mathrm{i}\sqrt{3}\vert=4\vert1+\mathrm{i}\sqrt{3}\vert=4\times 2=\boxed{\textcolor{red}{8}}$.

  On en déduit $a=8\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=8\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi{3}}$. Un argument de $a$ est donc $\dfrac{\pi}{3}$.

  \item %Donner la forme exponentielle des nombres $a$ et $b$.
  On a trouvé $a=8\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$ et  $b = \overline{a}=8\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$.

  \item %Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle ce de centre O dont on déterminera le rayon.
  $\vert a\vert=8$~;~$\vert b\vert=\left\vert \overline{a}\right\vert=\vert a\vert=8$ et $\vert c\vert=\vert8\mathrm{i}\vert=8$. Les points A, B et C sont donc sur le cercle de centre 0 et de rayon 8.

  \item %Placer les points A, B et C dans le repère -$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
  Voir figure en fin d'exercice.
 \end{enumerate}
\smallskip

%Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question \textbf{2. d.} complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.

\item On considère les points A$'$, B$'$ et C$'$ d'affixes respectives $a' = a \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$, $b' = b\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $c' = c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
 \begin{enumerate}
  \item %Montrer que $b' = 8$.
  $b'=b\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}=8\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi3}\times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}=\boxed{\textcolor{red}{8}}$.

  \item %Calculer le module et un argument du nombre $a'$.
  $\vert a' \vert=\left\vert a\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3} \right\vert=\vert a \vert\times \left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3} \right\vert=\vert a \vert=\boxed{\textcolor{red}{8}}$ car $\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right \vert=1$ pour tout $\theta$ réel.

  $\arg(a')=\arg\left(a\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}\right)=\arg(a)+\arg\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}\right)=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2\pi}{3}}}$
 \end{enumerate}

Pour la suite on admet que $a' = -4 + 4\text{i}\sqrt{3}$ et $c' = - 4\sqrt{3} + 4\text{i}$.

\item %On admet que si $M$ et $N$ sont deux points du plan d'affixes respectives $m$ et $n$ alors le milieu $I$ du segment $[MN]$ a pour affixe $\dfrac{m + n}{2}$ et la longueur $MN$ est égale à $|n - m|$.
 \begin{enumerate}
  \item On note $r$, $s$ et $t$ les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A$'$B],\: [B$'$C] et [C$'$A].

%Calculer $r$ et $s$. On admet que $t = 2 - 2\sqrt{3} + \text{i}\left(2 + 2\sqrt{3}\right)$.
On a : $r=\dfrac{a'+b}{2}=\dfrac{-4+4\mathrm{i}\sqrt{3}+4-4\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}=\boxed{\textcolor{red}{0}}$.

\noindent $s=\dfrac{b'+c}{2}=\dfrac{8+8\mathrm{i}}{2}=4+4\mathrm{i}$.

\noindent On a admis que $t = 2 - 2\sqrt{3} + \text{i}\left(2 + 2\sqrt{3}\right)$.

  \item %Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier ce résultat.
  Il semble que la figure que RST soit un triangle équilatéral.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item   $RS=\vert s-r \vert=\vert 4+4\mathrm{i} \vert=4\vert 1+\mathrm{i} \vert=\boxed{\textcolor{red}{4\sqrt{2}}}$.

\item $ST=\vert t-s \vert=\vert -2-2\sqrt{3}+\mathrm{i}\left(-2+2\sqrt{3}\right) \vert=2\vert -1-\sqrt{3}+\mathrm{i}\left(-1+\sqrt{3}\right) \vert\\
=2\sqrt{\left(-1-\sqrt{3}\right)^2+\left(-1+\sqrt{3}\right)^2}=2\sqrt{\left(1+2\sqrt{3}+3+1-2\sqrt{3}+3\right)}=2\sqrt{8}\\
=\boxed{\textcolor{red}{4\sqrt{2}}}$.

\item $RT=\vert t-r \vert = \left\vert 2-2\sqrt{3}+\mathrm{i}(2+2\sqrt{3}) \right\vert\\
=2\left\vert 1-\sqrt{3}+\mathrm{i}(1+\sqrt{3}) \right\vert = 2\sqrt{1 - 2\sqrt{3}+ 3 +1 + 2\sqrt{3} + 3} = 2\sqrt{8}\\
=\boxed{\textcolor{red}{4\sqrt{2}}}$.
\end{enumerate}

$RS = ST = RT = 4\sqrt{2}$ donc le triangle RST est \textbf{\textcolor{red}{équilatéral}}.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-9.,-9.)(9.,9.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(4.,4.)(-1.4641016151377544,5.464101615137755)
\psellipse(0.,0.)(8.,8.)
\psline(-4.,6.92820323027551)(4.,-6.928203230275509)
\psline(8.,0.)(0.,8.)
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\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(4.,4.)
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\psline[linecolor=zzttqq](-1.4641016151377544,5.464101615137755)(0.,0.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,6.928203230275509)
\rput[bl](4.169401790290362,7.161121938954711){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,-6.928203230275509)
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\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,8.)
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\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
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\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.,0.)
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\rput[bl](-6.785059027363528,4.253210521904767){\blue{$C'$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,0.)
%\rput[bl](0.14612708998838755,0.22993582160278905){\darkgray{$R$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.,4.)
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\rput[bl](-1.28791141704994,5.6872490289430955){\darkgray{$T$}}
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\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

 

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item $z\ne 0$ donc il existe $\rho\in \GR_{+}^*$ et $\theta\in\Intof{-\pi}{\pi}$ tels que $z=\rho\expf{\i\theta}.$
	\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
	\[\begin{array}{lcl} 
		M\left( z \right)\in \_D   & \iff &   \rho\sin\left( \theta \right)=-\rho\cos\left( \theta \right)+2 \\ 
		 & \iff & \rho\left( \sin\left( \theta \right)+\cos\left( \theta \right) \right)=2      \\ 
		 & \iff & \dfrac{2}{\sqrt{2}}\rho\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin\left( \theta \right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\left( \theta \right) \right)=2      \\ 
		 & \iff & \rho\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}  \right)=\sqrt{2}      \\ 
	\end{array}\]
	Comme $\theta\in\Intof{-\pi}{\pi},$ on a $-\dfrac{5\pi}{4}<\theta-\dfrac{\pi}{4}\leq \dfrac{3\pi}{4}.$

	D'autre part $\rho >0$ et $\rho\cos\left( \theta-\dfrac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}>0,$ par conséquent $\cos\left( \theta-\dfrac{\pi}{4} \right) >0$ et donc $-\dfrac{\pi}{2}<\theta -\dfrac{\pi}{4}< \dfrac{\pi}{2},$ c'est à dire $\theta\in\Intoo{-\dfrac{\pi}{4}}{\dfrac{3\pi}{4}}.$

	Enfin, $0<\cos\left( \theta-\dfrac{\pi}{4} \right)\leq 1$ et donc $\rho =\dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left( \theta-\dfrac{\pi}{4} \right)}\geq \sqrt{2}.$

	Réciproquement, si $\rho \geq \sqrt{2}$ et $\theta \in \Intoo{-\dfrac{\pi}{4}}{\dfrac{3\pi}{4}}$ vérifient $\rho\cos\left( \theta-\dfrac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}$ alors $M\left( \rho\expf{\i \theta} \right)\in \_D.$
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item 
		$\Re\left( \dfrac{\expf{\i\frac{\pi}{3}}}{\expf{\i\frac{\pi}{4}}}\right)=
\Re\left( \dfrac{\dfrac{1}{2} +\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\i\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\right)=
\Re \left( \left(  \dfrac{1}{2} +\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\i\dfrac{\sqrt{2}}{2}  \right)\right) 
= \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}=\cos\left( \dfrac{\pi}{12} \right).$
\item  Dans le triangle rectangle $OAH$ la somme des angles vaut $\pi,$ par conséquent $(\vecteur{OA}\pv \vecteur{OH})=\dfrac{\pi}{12}\ \left( 2\pi \right).$ 

  Ainsi $\arg\left( z_{H} \right)=\dfrac{\pi}{4}= \dfrac{\pi}{12}+\arg\left( z_A \right)\ \left( 2\pi \right).$

  On en déduit que $\arg\left( z_A \right)=\dfrac{\pi}{6}$ et que $\rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left( \dfrac{\pi}{12} \right)},$ d'où $A\left( \dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}},\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}} \right).$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}




















\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
