\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{math-expertes}
\chead{}\rhead{Contrôle~: corps des complexes}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: corps des complexes}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-17.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
  \'Ecrire sous forme algébrique :
  \setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
	\item $\left( 5+\ii \right)\left( 2-3\ii \right)$
	\item $z=\dfrac{1}{2+3\ii}$
	\item $z=\dfrac{2-5\ii}{ 2+\ii}$
	\item $ z=\left( 4-5\ii\right)^2$
	\item $z=\dfrac{1}{5+2\ii}-\dfrac{1}{5-2\ii}$ 
  \end{enumerate}
\end{multicols}


\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-14.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
  Résoudre les équations suivantes et donner les solutions sous leur forme algébrique.
  \setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
	\item $\ii z =5-8z$
	\item $\ii z -3+2\ii =\left( 2-\ii \right)z+5$ 
	\item $5z+2\overline{z}=1-2\ii$
	\item $\left( 2-5\ii \right)\overline{z}= 2z+3+2\ii $
  \end{enumerate}
\end{multicols}


\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-18.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
  $z$ est un nombre complexe. Précisez dans chacun des cas suivants si $Z$ est réel, imaginaire pur ou ni l'un ni l'autre.
  \setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
	\item $Z=\left( \dfrac{z}{4-2\i}+\dfrac{\overline{z}}{4+2\i} \right)\left( \dfrac{z-\overline{z}}{z+\overline{z}}+\left( z^3-\overline{z}^3 \right)z\overline{z} \right)$
	\item $Z=\left( 1+2\i \right)^{\nombre{1000}}+\left( -3-4\i \right)^{500}$
  \end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-21.tex
%%%%% Exo  4 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
    Résoudre les équations suivantes et donner les solutions sous leur forme algébrique.
  \setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
	\item $ z^2-9=0$ 
	\item $ z^2+9=0$ 
	\item $z^2-4z+3=0$
	\item $2z^2-2z+4=0$
  \end{enumerate}
\end{multicols}


\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-19.tex
%%%%% Exo  5 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Soit $P\left( z \right)=z^3+\left( 1+\i \right)z^2+\left( \i-1 \right)z-\i.$
\begin{enumerate}
  \item Déterminer le réel $a$ tel que $a\i$ soit solution de l'équation $P\left( z \right)=0.$
  \item Factoriser $P\left( z \right)$ par $\left( z-a\i \right).$
  \item Résoudre $P\left( z \right)=0.$
\end{enumerate}


\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-20.tex
%%%%% Exo  6 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Soit $P\left( z \right)=iz^3+\left( 8-5\i \right)z^2+\left( -13-10i \right)z-15-16i.$

Factoriser $P\left( z \right)$ par $\left( z-\left( 2+3i \right) \right).$

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\setlength{\columnseprule}{0pt}\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
  \item $z=13-13\i$
  \item $z=\dfrac{2}{13}-\dfrac{3}{13}\i$
  \item $z=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{12}{5}\i$
  \item $z=-9-40\i$
  \item $z=-\dfrac{4}{29}\i$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\setlength{\columnseprule}{0pt}\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
	\item $S=\Bigset{\dfrac{8}{13}-\dfrac{\i}{13}}$
	\item $S=\Bigset{-\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}\i}$
	\item $S=\Bigset{\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}\i}$
	\item $S=\Bigset{\dfrac{2}{25}-\dfrac{3}{5}\i}$
  \end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item $\overline{Z}=\overline{ \left( \dfrac{z}{4-2\i}+\dfrac{\overline{z}}{4+2\i} \right)\left( \dfrac{z-\overline{z}}{z+\overline{z}}+\left( z^3-\overline{z}^3 \right)z\overline{z} \right)}=\left( \dfrac{z}{4-2\i}+\dfrac{\overline{z}}{4+2\i} \right)\left( -\dfrac{z-\overline{z}}{z+\overline{z}}-\left( z^3-\overline{z}^3 \right)z\overline{z} \right)=-Z$

	$Z$ est donc un imaginaire pur.
  \item On a $\left( 1+2\i \right)^2=-3+4\i$ par conséquent,

	$Z=\left( \left( 1+2\i \right)^2 \right)^{500}+\left( -3-4\i \right)^{500}=\left( -3+4\i \right)^{500}+\left( -3-4\i \right)^{500}=\left( -3+4\i \right)^{500}+\overline{\left( -3+4\i \right)^{500}}.$

	$Z$ est donc un réel.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\setlength{\columnseprule}{0pt}\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
	\item $S=\bigset{ -3 \pv 3}$
	\item $S=\bigset{-3\i \pv 3\i}$
	\item $S=\bigset{1 \pv 3}$
	\item $S=\Bigset{\dfrac{1+\i\sqrt{7}}{2}\pv \dfrac{1-\i\sqrt{7}}{2}}$
  \end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item $a\i$ est solution de l'équation $P\left( z \right)=0$ si, et seulement si, $P\left( a\i \right)=0.$

	$P\left( a\i \right)=\left( a\i \right)^3+\left( 1+\i \right)\times \left( a\i \right)^2+\left( 1-\i \right)\times a\i-\i=-\left( a^2-a \right)-\left( a^3+a^2+a+1 \right)\i.$

	Ainsi, $P\left( a\i \right)=0$ équivaut à $a^2+a=0$ et $\left( \star \right)\ a^3+a^2+a+1=0.$

	$a^2+a=0 \iff a=0 \ou a=-1.$
	
	Or $0$ n'est pas solution de $\left( \star \right)$ alors que $-1$ l'est. La seule solution qui convient est donc $a=-1.$
  \item Par division (ou par identification), on a $P\left( z \right)=\left( z+\i \right)\left( z^2+z-1 \right).$
  \item $S=\Biggset{-\i \pv \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\pv \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}}.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
$P\left( z \right)=\big( z-\left( 2+3\i \right) \big)\left( \i z^2 +\left( 5-3\i \right)z+6-\i\right).$

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
