\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{math-expertes}
\chead{}\rhead{Contrôle~: nombres complexes (2h)}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: nombres complexes (2h)}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE complexes-interpretation-geom-10.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Résoudre dans $\GC,$  l'équation :
\[z^5=\sqrt{3}-\i.\]

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE complexes-interpretation-geom-06.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Soient $a$ et $b$ deux complexes de module $1.$

Montrer que, si $ab\ne -1 $ alors : $Z=\dfrac{a+b}{1+ab}\in \GR.$

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE complexes-interpretation-geom-07.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes suivants :
\begin{enumerate}
  \item $z_1=\left( \sqrt{6}+3\sqrt{2}\ii \right)^{12}$
  \item 
	$z_{2}=-\sin\left( 2\theta \right)+2\ii\cos^2\left( \theta \right)$
	\begin{enumerate}
	  \item Lorsque $\theta\in\Intff{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}$ 
	  \item Lorsque $\theta\in\Intff{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}$ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Rappel :} $ \cos(2a)=\cos^{2}(a)-\sin^{2}(a)=2\cos^{2}(a)-1=1-2\sin^{2}(a)$

$ \sin(2a)=2\sin (a)\cos (a) \text{ et } \tan(2a)=\dfrac{2\tan (a)}{1-\tan^{2}(a)}$


\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE complexes-interpretation-geom-09.tex
%%%%% Exo  4 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
On note $\alpha =\expf{\frac{2\ii \pi}{7}},$ $S=\alpha+\alpha^2+\alpha^4$ et $T=\alpha^3+\alpha^5+\alpha^6.$
\begin{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item Montrer que pour tout $k\in \Intffn{0}{6},$ $\overline{\alpha^k}=\alpha^{7-k}.$
	  \item En déduire que $S$ et $T$ sont conjugués.
	\end{enumerate}
  \item On considère l'équation $\left( E \right):\ z^7=1.$ 
	\begin{enumerate}
	  \item Montrer que la somme des solutions de l'équation $\left( E \right)$ est nulle.
  \item En déduire les valeurs de  $S+T$ et $ST.$
  \item On admet que $\Im\left( S \right)>0,$ déterminer les valeurs de $S$ et $T.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE complexes-interpretation-geom-11.tex
%%%%% Exo  5 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Soit $n$ un entier naturel avec $n\geq 2.$ On note $\zeta_{k},$ $k\in\Intffn{0}{n-1}$ les racines $n\text{-ième} $ de l'unité. Déterminer la valeur de la somme :
\[ \abs{\zeta_0-1}+\abs{\zeta_2-1}+\ldots+\abs{\zeta_{n-1}-1}.\]

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
% La correction est à faire: au boulot!
$\sqrt{3}-\i =2\expf{-\i\frac{\pi}{6}}.$

\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\[\begin{array}{lcl} 
	z^5=\sqrt{3}+\i  & \iff &  z^5=2\expf{-\i\frac{\pi}{6}} \\ 
	& \iff &    z^5=\left(2^{\frac{1}{5}}\expf{-\i\frac{\pi}{30}}\right)^5   \\ 
	& \iff &  \left( \dfrac{z}{2^{\frac{1}{5}}\expf{-\i\frac{\pi}{30}}}\right)^5=1      \\ 
	& \iff & \dfrac{z}{2^{\frac{1}{5}}\expf{-\i\frac{\pi}{30}}}\in \Bigset{\expf{\i\frac{2k\pi}{5}},\ k\in\Intffn{0}{4} }     \\ 
	& \iff & z\in  \Bigset{2^{\frac{1}{5}}\expf{\i\left(-\frac{\pi}{30}+\frac{2k\pi}{5}\right)},\ k\in\Intffn{0}{4}}       \\ 
\end{array}\]

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
Montrons que $\overline{Z}=Z.$ Comme $a$ et $b$ sont de module $1,$ ils sont non-nuls et  $\overline{a}=\dfrac{1}{a}$ et $\overline{b}=\dfrac{1}{b}.$ Par conséquent,
\[\overline{Z}=\dfrac{\overline{a}+\overline{b}}{1+\overline{a}\overline{b}}=\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{1+\dfrac{1}{a}\dfrac{1}{b}}= \dfrac{a+b}{1+ab}=Z.\]
On en déduit que $Z\in\GR.$

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item $\abs{\sqrt{6}+3\sqrt{2}\ii}=2\sqrt{6},$ donc 
	\[\left( \sqrt{6}+3\sqrt{2}\ii \right)^{12}=\left( 2\sqrt{6}\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ii \right) \right)^{12}=\left( 2\sqrt{6}\expf{\ii\frac{\pi}{3}} \right)^{12}=2^{18}\times3^6.\]
  \item On a $z_{2}=-\sin\left( 2\theta \right)+2\ii\cos^2\left( \theta \right)=-2\sin\left( \theta \right)\cos\left( \theta \right)+2\ii\cos^2\left( \theta \right)=2\ii\cos\left( \theta \right)\left( \cos\left( \theta \right)+\ii\sin\left( \theta \right) \right)=2\ii\cos\left( \theta \right)\expf{\ii\theta}.$
	\begin{enumerate}
	  \item Si $\theta\in\Intoo{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}$ alors $\cos\left( \theta \right)>0$ et $z_{2}=2\cos\left( \theta \right)\expf{\ii\frac{\pi}{2}}\expf{\ii\theta}.$ La forme exponentielle de $z_{2}$ est :
		\[z_{2}=2\cos\left( \theta \right)\expf{\ii\left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)}.\]
	  \item Si $\theta\in\Intoo{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}$ alors $\cos\left( \theta \right)<0$ et $z_{2}=2\left(-\ii\right)\left(-\cos\left( \theta \right)\right)\expf{\ii\theta}=-2\cos\left( \theta \right)\expf{-\ii\frac{\pi}{2}}\expf{\ii\theta}.$ La forme exponentielle de $z_{2}$ est :
		\[z_{2}=-2\cos\left( \theta \right)\expf{\ii\left( \theta-\frac{\pi}{2} \right)}.\]

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item Soit $k\in\Intffn{0}{6}.$
		\[\overline{\alpha^k}=\overline{\expf{\frac{2\ii k \pi}{7}}}=\expf{-\frac{2\ii k\pi}{7}}=\expf{-\frac{2\ii k\pi}{7}+2\ii\pi}=\expf{\frac{2i\left( 7-k \right)\pi}{7}}=\alpha^{7-k}.\]
	  \item $\overline{S}=\overline{\alpha+\alpha^2+\alpha^4}=\overline{\alpha}+\overline{\alpha^2}+\overline{\alpha^4}=\alpha^6+\alpha^5+\alpha^3=T.$
	\end{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item L'ensemble des solutions de $\left( E \right)$ est $\Bigset{\alpha^k,\ k\in\Intffn{0}{6}},$ étant donné que $\alpha\ne 1,$
		\[\sum_{k=0}^6\alpha^k=\dfrac{1-\alpha^7}{1-\alpha}=0.\]
	  \item 
		\begin{itemize}
		  \item On en déduit que $1+S+T=0,$ \ie $S+T=-1.$
		  \item 
			\setlength{\jot}{10pt}
			\begin{align*} 
			  ST   &= \left( \alpha+\alpha^2+\alpha^4 \right)\left( \alpha^3+\alpha^5+\alpha^6 \right)  \\ 
			  &= \alpha^4 +\alpha^6+\alpha^7+\alpha^5+\alpha^7+\alpha^8+\alpha^7+\alpha^9+\alpha^{10} \\ 
			   &= \alpha^4+\alpha^6+1+\alpha^5+1+\alpha+1+\alpha^2+\alpha^3  \\ 
			   &= 2 \\ 
			\end{align*}
		\end{itemize}
	  \item $S$ et $T$ sont les racines du polynôme :
		\[P=X^2-\left( S+T \right)X+ST=X^2+X+2\]
		dont les racines sont 
		\[\dfrac{-1-\ii\sqrt{7}}{2} \et \dfrac{-1+\ii\sqrt{7}}{2}.\] 
		$\sin\left( \dfrac{8\pi}{7} \right)=-\sin\left( \dfrac{\pi}{8} \right)$ et comme la fonction $\sin$ est croissante sur $\Intff{0}{\dfrac{\pi}{2}},$ $\sin\left( \dfrac{\pi}{7} \right)\leq \sin\left( \dfrac{2\pi}{7} \right)$ \ie $\sin\left( \dfrac{2\pi}{7} \right)+\sin\left( \dfrac{8\pi}{7} \right)\geq 0.$ On en déduit que $\im\left( S \right)\geq 0$ et par conséquent :
		\[ S=\dfrac{-1+\ii\sqrt{7}}{2} \et T=\dfrac{-1-\ii\sqrt{7}}{2}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}






















\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\setlength{\jot}{5pt}
\begin{align*} 
  \zeta_k-1   &=  \expf{\frac{\ii2k\pi}{n}}-1 \\ 
  &= \expf{\frac{\ii k\pi}{n}}\left( \expf{\frac{\ii k\pi}{n}}-\expf{-\frac{\ii k\pi}{n}} \right) \\ 
  &=\expf{\frac{\ii k\pi}{n}}2\ii\sin\left( \dfrac{k\pi}{n} \right)  \\ 
	 \end{align*}
	 On en déduit que 
	 \setlength{\jot}{5pt}
	 \begin{align*} 
	   \sum_{k=0}^{n-1} \abs{\zeta_k-1}      &=  \sum_{k=1}^{n-1} 2\sin\left( \dfrac{k\pi}{n} \right) \quad  (k=1 \text{ car } \zeta_0=1)\\ 
	   &= 2\im\left( \sum_{k=1}^{n-1}\expf{\frac{\ii k\pi}{n}}  \right) \\ 
	   &= 2\im\left( \expf{\frac{\ii\pi }{n}}  \sum_{k=1}^{n-1} \left( \expf{\frac{\ii \pi}{n}} \right)^{k-1} \right) \\ 
	   &= 2\im\left( \expf{\frac{\ii\pi}{n}}\dfrac{1-\expf{\frac{\ii\left( n-1 \right)\pi}{n}}}{1-\expf{\frac{\ii\pi}{n}}} \right) \\ 
	   &= 2\im\left( \expf{\frac{\ii \pi}{n}}\dfrac{1+\expf{-\frac{\ii\pi}{n}}}{1-\expf{\frac{\ii\pi}{n}}} \right) \\ 
	   &= 2\im\left(\expf{\frac{\ii \pi}{n}} \dfrac{\expf{-\frac{\ii\pi}{2n}}\left( \expf{\frac{\ii\pi}{2n}}+\expf{-\frac{\ii\pi}{2n}} \right)}{\expf{\frac{\ii\pi}{2n}}\left( \expf{-\frac{\ii\pi}{2n}}-\expf{\frac{\ii\pi}{2n}} \right)}  \right) \\ 
	   &= 2\im\left( \expf{\frac{\ii \pi}{n}}\expf{-\frac{\ii \pi}{n}}\dfrac{2\cos\left( \dfrac{\pi}{2n} \right)}{-2\ii\sin\left( \dfrac{\pi}{2n} \right)} \right) \\ 
	   &= 2\dfrac{\cos\left( \dfrac{\pi}{2n} \right)}{\sin\left( \dfrac{\pi}{2n} \right)} \\ 
	 \end{align*}
\[\]


























\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
