\documentclass[a4paper,landscape]{article}
\usepackage[10pt]{extsizes}
\usepackage[marge1]{monstyle_freds_2015}
\usepackage{miseenpage}
\pagestyle{fancy}
\lhead{math-expertes}
\chead{}\rhead{Contrôle~: corps des complexes}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: corps des complexes}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-03.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
On rappelle que pour tout nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2},$
$\overline{z_{1}\times z_{2}}=\overline{z_{1}}\times \overline{z_{2}}.$
\begin{enumerate}
  \item Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\GN^*,$ $\overline{z^n}=\overline{z}^n.$
  \item En déduire que pour tout $n\in\GN^*,$ $z^n+\overline{z}^n$ est un réel.
  \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,$ $\left( 2+\ii \right)^{2n}+\left( 3-4\ii
	\right)^n$ est réel.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-08.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Résoudre dans $\GC$ l'équation :
\[z^2-\overline{z}+1=0.\]

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-09.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
\`A tout nombre complexe $z,$ on associe le nombre $z'=\dfrac{\left( 3+4\ii \right)z+5\overline{z}}{6}.$
\begin{enumerate}
  \item Montrer que pour tout $z$ complexe, on a :
	\[\dfrac{z'-z}{1+2\ii}=\dfrac{z+\overline{z}}{6}+\ii\dfrac{z-\overline{z}}{3}.\]
  \item En déduire que $\dfrac{z'-z}{1+2\ii}$ est un nombre réel.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-11.tex
%%%%% Exo  4 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
On considère le polynôme $P$ défini dans $\GC$ par :
\[ P\left( z \right)=z^4+\left( -4-4\ii \right)z^3+\left( -6+16\ii \right)z^2+\left( 12+24\ii \right)z-48\ii.\]
\begin{enumerate}
  \item Calculer $P\left( -2 \right)$ et en déduire une factorisation de $P$ en un produit d'un polynôme du premier degré et d'un polynôme du troisième degré.
	%factoriser $P\left( z \right)$ sous la forme $P\left( z \right)=\left(z+2  \right)Q\left( z \right).$
  \item On considère le polynôme $Q\left( z \right)= z^3-\left( 6+4\ii \right)z^2+\left( 6+24\ii \right)z-24\ii.$ Démontrer que $Q\left( z \right)$ admet une racine imaginaire pure que l'on déterminera.
  \item En déduire l'ensemble des racines de $P$ dans $\GC.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-10.tex
%%%%% Exo  5 
\begin{exerciceptp}[(bonus)]{\refenonce{1}{0}{1}}
Pour tout nombre complexe $z$ différent de $3\ii-5,$ on pose 
\[f\left( z \right)=\dfrac{z-3+\ii}{z+5-3\ii}.\]
Résoudre dans $\GC$ l'équation $f\left( z \right)=-\overline{f\left( \overline{z} \right)}.$

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item Soit $P_{n}$ la propriété : $\overline{z^n}=\overline{z}^n.$
	\begin{itemize}
	  \item \textit{Initialisation} : $\overline{z^1}=\overline{z}$ et
		$\overline{z}^1=\overline{z}$
		donc $P_{1}$ est vraie.
	  \item \textit{Hérédité} : Montrons  que pour tout $n\in \GN^*,$ $P_{n} \implies P_{n+1}$.

		$\overline{z^{n+1}}=\overline{z^n z}=\overline{z^n}\times \overline{z}=\overline{z}^n \times
		\overline{z}= \overline{z}^{n+1}.$

		On a montré que  $P_{n}$ implique $P_{n+1}$.
	  \item \textit{Conclusion} : Pour tout $n\in \GN^*,$ $P_{n}$ est vraie.
	\end{itemize}
  \item $z^n+\overline{z}^n= z^n+\overline{z^n} \in \GR.$
  \item {\setlength{\jot}{10pt}
	\begin{align*} 
	    \left( 2+\ii \right)^{2n}+\left( 3-4\ii  \right)^n &=  \left( \left( 2+\ii \right)^2
		\right)^n +\left( 3-4\ii \right)^n \\ 
	   &= \left( 3+4\ii \right)^n+\left( 3-4\ii \right)^n \\ 
	   &= \overline{3-4\ii}^n +\left( 3-4\ii \right)^n \in \GR \\ 
	\end{align*}}
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
On pose $z=a+b\ii.$
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\[\begin{array}{lcl} 
	z^2-\overline{z}+1=0   & \iff &   \left( a+b\ii \right)^2-\left( a-b\ii \right)+1=0 \\ 
	 & \iff & a^2-a -b^2+1+\left( 2ab+b \right)\ii=0      \\ 
	 & \iff & 
	 \begin{systeme}{2}
	   a^2-a-b^2+1 &=& 0\\
	   b\left( 2a+1 \right)&=& 0
	 \end{systeme}
	 \\ 
	 & \iff & 
	 \begin{systeme}{2}
	   a^2-a-b^2+1 &=& 0\\
	   b=0 \ou a=-\dfrac{1}{2}
	 \end{systeme}
	 \\ 
\end{array}\]

\begin{itemize}
  \item 
Pour $b=0,$ l'équation $a^2-a+1=0$ ne possède pas de solution réelle.
\item Pour $a=-\dfrac{1}{2},$ $b=-\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ ou $b=\dfrac{\sqrt{7}}{2}.$
\end{itemize}
L'ensemble des solutions est donc $\left\{ -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{7}}{2} \pv -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{7}}{2} \right\}.$


\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item 
	{\setlength{\jot}{10pt}
	\begin{align*} 
	  \dfrac{z'-z}{1+2\ii}   &= \dfrac{\left( 3 +4\ii\right)z+5\overline{z}-6z}{6\left( 1+2\ii \right)}  \\ 
	  &= \dfrac{\left( -3 +4\ii \right)z+5\overline{z}}{6\left( 1+2\ii \right)} \\ 
	   &= \dfrac{\left( \left( -3 +4\ii \right)z+5\overline{z}\right)\left( 1-2\ii \right)}{6\times 5} \\ 
	   &= \dfrac{\left( 1+2\ii \right)z+\left( 1-2\ii \right)\overline{z}}{6} \\ 
	   &= \dfrac{z+\overline{z}}{6}+\ii\dfrac{z-\overline{z}}{3} \\ 
	\end{align*}}
  \item 
	{\setlength{\jot}{10pt}
	\begin{align*} 
	  \dfrac{z'-z}{1+2\ii}&=\dfrac{z+\overline{z}}{6}+\ii\dfrac{z-\overline{z}}{3}    \\ 
	  &= \dfrac{2\Re\left( z \right)}{6}-\dfrac{\ii \times 2\Im\left( z \right)\ii}{3} \\ 
	  &= \dfrac{2\Re\left( z \right)}{6} -\dfrac{2\Im\left( z \right)}{3}\in \GR. \\ 
	\end{align*}}
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item On vérifie que $P\left( -2 \right)=0.$ Par division de polynômes on obtient la factorisation :
	\[ P\left( z \right)= \left( z+2 \right)\left( z^3-\left( 6+4\ii \right)z^2+\left( 6+24\ii \right)z-24\ii \right).\]
  \item $Q\left( b\ii \right)= 6b^2-24b+\left( -b^3+4b^2+6b-24 \right)$
	\[Q\left( b\ii \right)=0 \iff b\left( 6b-24 \right)=0 \et  -b^3+4b^2+6b-24 =0.\]
	$b=4$ convient et donc $4\ii$ est solution.

  \item 
	Par division de $Q$ par $z-4\ii$ on obtient la factorisation :
	\[Q\left( z \right)= \left( z-4\ii \right)\left( z^2-6z+6 \right).\]
	En résolvant l'équation $z^2-6z+6=0$ on en déduit l'ensemble des solutions $P\left( z \right)=0$ :
	\[\left\{ -2 \pv 4\ii \pv 3-\sqrt{3} \pv 3+\sqrt{3} \right\}.\]
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\[\begin{array}{lcl} 
	f\left( z \right)=-\overline{f\left( \overline{z} \right)}   & \iff &    \dfrac{z-3+\i}{z+5-3\ii}+\dfrac{z-3-\ii}{z+5+3\ii}=0 \\ 
	& \iff & \dfrac{2z^2+4z-36}{\left( z+5-3\ii \right)\left( z+5+3i \right)}=0      \\ 
	& \iff & z^2+2z-18=0 \et z\in\GC \backslash\left\{ -5+3\ii \pv -5 -3\ii \right\}      \\ 
	& \iff & z\in\left\{  -1-\sqrt{19}\pv -1 +\sqrt{19} \right\}.      \\ 
	   \end{array}\]

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
