\documentclass[a4paper,landscape]{article}
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\lhead{math-expertes}
\chead{}\rhead{Contrôle~: complexes}
\cfoot{Page \thepage  }

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: complexes}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-01.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Calculer les expressions suivantes et  donner le résultat sous forme algébrique :
  \begin{enumerate}
	  \setlength{\columnseprule}{0pt} 
\begin{multicols*}{2}
	\item $\left( 3+\ii \right)^2$
	\item $\left( 1+\ii\sqrt{2} \right)^2$
	\item $\left( 1+2\ii \right)\left( -2-2\ii \right)$
	\item $ \left( 7\ii -3 \right)\left( 7-3\ii \right)$
\end{multicols*}
  \end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-02.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Déterminer les conjugués des nombres complexes suivants :
  \setlength{\columnseprule}{0pt} 
\begin{multicols*}{2}
  \begin{enumerate}
	\item $9+\ii$
	\item $5\ii-2$
	\item $\dfrac{3-\sqrt{7}}{7}\ii$
	\item $\sqrt{7}+\pi \ii$
  \end{enumerate}
\end{multicols*}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-03.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
On rappelle que pour tout nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2},$
$\overline{z_{1}\times z_{2}}=\overline{z_{1}}\times \overline{z_{2}}.$
\begin{enumerate}
  \item Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\GN^*,$ $\overline{z^n}=\overline{z}^n.$
  \item En déduire que pour tout $n\in\GN^*,$ $z^n+\overline{z}^n$ est un réel.
  \item Démontrer que pour tout entier naturel $n,$ $\left( 2+\ii \right)^{2n}+\left( 3-4\ii
	\right)^n$ est réel.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-04.tex
%%%%% Exo  4 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Résoudre les équations suivantes avec la méthode la mieux adaptée :
  \setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols*}{2}
  \begin{enumerate}
	\item $\overline{z}-2\ii z=3$
	\item $z-\ii=\overline{z}$
	\item $\ii\overline{z}=3z-2\ii$
	\item $2\ii \overline{z}=\dfrac{\overline{z}-\ii}{2}$
	\item $\dfrac{z}{\overline{z}+1}=3$
	\item $\dfrac{\overline{z}}{z-1}=2$
  \end{enumerate}
\end{multicols*}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-05.tex
%%%%% Exo  5 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Pour tout $z\in\GC,$ on pose 
\[ P\left( z \right)=z^3-5z^2+9z-9.\]
\begin{enumerate}
  \item Montrer que $3$ est solution de $P\left( z \right)=0.$
  \item En déduire une factorisation de $P\left( z \right).$
  \item Résoudre $P\left( z \right)=0.$

\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-06.tex
%%%%% Exo  6 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
On définit une fonction $f$ de $\GC\backslash\left\{ \ii \right\}$ dans $\GC$ par :
\[ f\left( z \right)=\dfrac{z-1}{z-\ii}.\]
\begin{enumerate}
  \item Démontrer que $1 $ n'a aucun antécédent par $f.$
  \item On pose $z=x+y\ii.$ Déterminer $\Re\left( f\left( z \right)\right)$ et $\Im\left( f\left( z \right)\right).$
  \item Déterminer l'ensemble des points $M\left( x,y \right)$ tels que $f\left( z \right)$ est
	réel.
  \item Déterminer l'ensemble des points $M\left( x,y \right)$ tels que $f\left( z \right)$ soit
	imaginaire pur.
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE corps-complexes-07.tex
%%%%% Exo  7 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
On appelle ensemble des entiers de Gauss l'ensemble 
\[\GZ\left[ \ii \right]=\left\{ a+b\ii, \ \left( a,b \right)\in \GZ^2 \right\}.\]
\begin{enumerate}
  \item Montrer que la somme et la différence de deux entiers de Gauss sont des entiers de Gauss.
  \item Montrer que le produit de deux entiers de Gauss est un entier de Gauss.
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item Montrer que pour tout $\left( x,y \right)\in\GR^2,$ $\left( x,y \right)\ne \left( 0,0
		\right),$ $\abs{ \dfrac{xy}{x^2+y^2}}\leq \dfrac{1}{2}.$
	  \item Déterminer les entiers de Gauss dont l'inverse est un entier de Gauss.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
   \begin{enumerate}
	  \setlength{\columnseprule}{0pt} 
\begin{multicols*}{2}
	\item $\left( 3+\ii \right)^2=8+6\ii$
	\item $\left( 1+\ii\sqrt{2} \right)^2=-1+2\ii\sqrt{2}$
	\item $\left( 1+2\ii \right)\left( -2-2\ii \right)=2 -6\ii$
	\item $ \left( 7\ii -3 \right)\left( 7-3\ii \right)=58\ii$
\end{multicols*}
  \end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
  \setlength{\columnseprule}{0pt} 
\begin{multicols*}{2}
  \begin{enumerate}
	\item $\overline{9+\ii}=9-\ii$
	\item $\overline{5\ii-2}=-2-5\ii$
	\item $\overline{\dfrac{3-\sqrt{7}}{7}\ii}=-\dfrac{3-\sqrt{7}}{7}\ii$
	\item $\overline{\sqrt{7}+\pi \ii}=\sqrt{7}-\pi\ii$
  \end{enumerate}
\end{multicols*}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item Soit $P_{n}$ la propriété : $\overline{z^n}=\overline{z}^n.$
	\begin{itemize}
	  \item \textit{Initialisation} : $\overline{z^1}=\overline{z}$ et
		$\overline{z}^1=\overline{z}$
		donc $P_{1}$ est vraie.
	  \item \textit{Hérédité} : Montrons  que pour tout $n\in \GN^*,$ $P_{n} \implies P_{n+1}$.

		$\overline{z^{n+1}}=\overline{z^n z}=\overline{z^n}\times \overline{z}=\overline{z}^n \times
		\overline{z}= \overline{z}^{n+1}.$

		On a montré que  $P_{n}$ implique $P_{n+1}$.
	  \item \textit{Conclusion} : Pour tout $n\in \GN^*,$ $P_{n}$ est vraie.
	\end{itemize}
  \item $z^n+\overline{z}^n= z^n+\overline{z^n} \in \GR.$
  \item {\setlength{\jot}{10pt}
	\begin{align*} 
	    \left( 2+\ii \right)^{2n}+\left( 3-4\ii  \right)^n &=  \left( \left( 2+\ii \right)^2
		\right)^n +\left( 3-4\ii \right)^n \\ 
	   &= \left( 3+4\ii \right)^n+\left( 3-4\ii \right)^n \\ 
	   &= \overline{3-4\ii}^n +\left( 3-4\ii \right)^n \in \GR \\ 
	\end{align*}}
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{multicols*}{2}
  \begin{enumerate}
	\item $\overline{z}-2\ii z=3 \iff z=-1+2\ii $
	\item $z-\ii=\overline{z} \iff \im\left( z \right)=\dfrac{1}{2}$
	\item $\ii\overline{z}=3z-2\ii \iff z=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\ii$
	\item $2\ii \overline{z}=\dfrac{\overline{z}-\ii}{2} \iff
	  z=-\dfrac{4}{17}-\dfrac{\ii}{17}$
	\item $\dfrac{z}{\overline{z}+1}=3 \iff  z=-\dfrac{3}{2}$
	\item $\dfrac{\overline{z}}{z-1}=2 \iff z= 2$
  \end{enumerate}
\end{multicols*}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item $P\left( 3 \right)=0$
  \item $P\left( z \right)=\left( z-3 \right)\left( z^2-2z+3 \right)$
  \item 
	\[	P\left( z \right)=0   \iff    z-3= 0 \ou z^2-2z+3 =0 \] 
	On résout $\left( z^2-2z+3 \right)=0$: $\Delta=-8=\left( 2\ii\sqrt{2} \right),$ $ z_{1}= 1-\ii\sqrt{2},$
	$z_{2}=1+\ii\sqrt{2}.$
	Ainsi 
	\[ P\left( z \right)=0 \iff z\in \left\{  3 , 1-\ii \sqrt{2}, 1+\ii\sqrt{2} \right\}.\]
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item 
	\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
	\[\begin{array}{lcl} 
		f\left( z \right)=1   & \iff &    \dfrac{z-1}{z-\ii}=1 \\ 
		 & \iff & z-1=z-\ii     \et z\ne \ii \\ 
		 & \iff & 1=\ii \et z\ne \ii      \\ 
		 & \iff & z\in \emptyset      \\ 
	\end{array}\]
  \item $x+y\ii=\ii \iff \left( x,y \right)=\left( 0,1 \right).$

	Soit $z=x+y\ii,$ $\left( x,y \right)=\left( 0,1 \right).$
	{\setlength{\jot}{10pt}
	\begin{align*} 
	  f\left( x+y\ii \right)   &=  \dfrac{x+y\ii-1}{x+y\ii-\ii} \\ 
	  &= \dfrac{x-1 +y\ii}{x+\left( y-1 \right)\ii} \\ 
	  &= \dfrac{\left( x-1 +y\ii  \right)\left( x-\left( y-1 \right)\ii  \right)}{x^2+\left( y-1 \right)^2} \\ 
	  &= \dfrac{x^2+y^2-x-y}{x^2+\left( y-1 \right)^2 }+\dfrac{x+y-1}{x^2+\left( y-1 \right)^2}\ii \\ 
	  &= \dfrac{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)^2+\left( y-\dfrac{1}{2}
	  \right)^2-\dfrac{1}{2}}{x^2+\left( y-1 \right)^2}+\dfrac{x+y-1}{x^2+\left( y-1 \right)^2}\ii  \\ 
	\end{align*}}
  \item $f\left( z \right)$ est réel si, et seulement si, $M\left( x,y \right)$ est un point de la
	droite d'équation $y=x$ (le point de coordonnées $\left( 0,1 \right)$  n'est pas un point de
	cette droite.
  \item $f\left( z \right)$ est un imaginaire pur si, et seulement si, $M\left( x,y \right)$ est un
	point du cercle de centre $\Omega\left( \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} \right)$ et de rayon
	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ privé du point de coordonnées $\left( 0,1 \right).$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item Trivial
  \item Trivial
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item Pour tout $\left( x,y \right)\in\GR^2,$ $\left( x,y \right)\ne\left( 0,0 \right),$
		$\left( \abs{x}-\abs{y} \right)^2 \geq 0 \iff \abs{\dfrac{xy}{x^2+y^2}}\leq
		\dfrac{1}{2}.$
	  \item Soit $z=a+b\ii$ un entier de Gauss tel que $\left( a,b \right)\ne \left( 0,0
		\right).$

		$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a+b\ii}=\dfrac{a-b\ii}{a^2+b^2} =
		\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b}{a^2+b^2}\ii.$

		Si $\dfrac{1}{z} $ est un entier de Gauss alors $\dfrac{a}{a^2+b^2}\in\GZ$ et par conséquent
		$\dfrac{ab}{a^2+b^2}$ aussi.  Or, comme $\abs{\dfrac{ab}{a^2+b^2}}\leq \dfrac{1}{2},$
		$\dfrac{ab}{a^2+b^2}=0. $ On en déduit que $a=0$ ou $b=0.$
		\begin{itemize}
		  \item Si $a=0,$ $\dfrac{1}{z}=-\dfrac{1}{b}\ii$ et on en déduit que $b=1$ ou $b=-1.$
		  \item Si $b=0$ on obtient de la même manière $a=
			1$ et $a=-1.$
		\end{itemize}
		Les inversibles sont donc à chercher parmi $I=\left\{ -1, 1, -\ii, \ii \right\}.$

		Réciproquement, on vérifie que tous les éléments de $I$ sont inversibles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
