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\lhead{math-expertes}
\chead{}\rhead{Contrôle~: PGCD, Bezout, Gauss}
\cfoot{}

\setstretch{1.1}
\def\flagpasdindication{1}
\begin{document}
\begin{multicols*}{2}
			\titre{Contrôle~: PGCD, Bezout, Gauss}{}
			%%%%%
%%%%% EXERCICE CentresEtrangersS2001-exo2-spe.tex
%%%%% Exo  1 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}


Un astronome a observé au jour J$_0$ le corps céleste A, qui apparaît
 périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard (J$_0$ + 6), il observe le corps B, dont la période d'apparition est de 81 jours. On appelle J$_1$ le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de  l'astronome.
 
Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour  J$_1$.
 
\begin{enumerate} 
\item Soient $u$ et $v$ le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre J$_0$ et J$_1$. Montrer que le couple $(u~;~ v)$ est solution de l'équation (E$_1)$~ : 

$35x - 27y = 2$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer un couple d'entiers relatifs $(x_0~;~y_0)$ solution particulière de l'équation (E$_2$) : 
		
\[35x - 27y = 1.\]

		\item En déduire une solution particulière $(u_0~;~v_0)$ de (E$_1$).
		\item Déterminer toutes les solutions de l'équation (E$_1$).
		\item Déterminer la solution $(u~;~v)$ permettant de déterminer 
J$_1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Combien de jours s'écouleront entre J$_0$ et J$_1$ ?
		\item Le jour J$_0$ était le mardi 7 décembre 1999, quelle est la date
 exacte du jour J$_1$ ? (L'année 2000 était bissextile.)
		\item Si l'astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours
 devrat-il attendre jusqu'à la prochaine conjonction des deux astres ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE PGCD-BEZOUT-GAUSS-05.tex
%%%%% Exo  2 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Soit $a$ et $b$ des entiers et $m$ et $n$ des entiers positifs. On considère le système 
    \[
	  \left( S \right)\ \begin{systeme}{2}
	  {x \equiv a} & \ \left( m \right) \\
	  {x \equiv b} &\  \left( n \right)
    \end{systeme}
    \]
	\begin{enumerate}
	  \item On suppose que $\pgcd{m}{n}\divise a-b.$
		\begin{enumerate}
		  \item L'équation $um+vn=a-b$ d'inconnue $\left( u,v \right)$ possède-t-elle des solutions
			? Pourquoi ?
		  \item On note $\left( u_{0},v_{0} \right)$ un couple solution de l'équation précédente,
			donner une solution de $\left( S \right).$
		\end{enumerate}
	  \item Réciproquement, on suppose que $\left( S \right)$ possède des solutions. Montrer que
	  $\pgcd{m}{n}\divise a-b.$
	\end{enumerate}



\end{exerciceptp}

%%%%%
%%%%% EXERCICE PGCD-BEZOUT-GAUSS-06.tex
%%%%% Exo  3 
\begin{exerciceptp}[]{\refenonce{1}{0}{1}}
Soit $\left( a,b \right)\in \left( \GN^* \right)^2.$ Montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux
si et seulement si tout entier supérieur ou égal à $\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)$ est de la
forme $au+bv$ pour un couple $\left( u,v \right)\in\GN^2.$

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\newpage
\setcounter{exoptp}{1}
\begin{multicols*}{2}
\titre{Correction}{}

			\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item La conjonction se produira au bout de $150u=81v+6$ jours. Or 
	\[150u=81v+6\iff 35u-27v=2,\]
	$\left( u,v \right)$ est donc solution de $35x-27y=2.$
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item $\left( -10 \pv -13 \right)$ convient.
	  \item On multiplie par $2$ : $\left( u_{0}\pv v_{0} \right)=\left( -20\pv -26 \right).$
	  \item 
		\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
		\[\begin{array}{lcl} 
			 35u-27v=2  & \iff &   35u-27v-\left( 35u_0-27v_0 \right)=0 \\ 
			 & \iff & 35\left( u-u_0 \right)=27\left( v-v_0 \right)      \\ 
		\end{array}\]
		\begin{enumerate}
		  \item $27\mid 35\left( u-u_{0} \right),$ comme $27\wedge 35=1,$ d'après le théorème de Gauss, $27\mid u-u_0.$ Il existe donc $k\in\GZ$ tel que $u=u_0+27k.$
		  \item De la même manière on obtient qu'il existe $k'\in\GZ$ tel que $v=v_{0}+35k'.$
		\end{enumerate}
		Réciproquement, soit $\left( k,k' \right)\in\GZ^2.$ $\left(  u_0+27k, v_{0}+35k' \right)$ est solution de $E_1$ si, et seulement si 
		\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
		\[\begin{array}{lcl} 
			35\left( u_0+27k \right)-27\left( v_{0}+35k' \right)=2  & \iff &   k=k' \\ 
		\end{array}\]
		On en déduit que l'ensemble des solutions est $\bigset{ \left(  -20+27k\ , -26+35k \right), \ k\in\GZ }.$
	  \item  $u\geq 0$ et $v\geq 0$ si et seulement si $k\geq 1.$ Pour $k=1$ on obtient $u=7$ et $v=9.$
	\end{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item $105\times 7= 735$ jours.
	  \item $735=366+365+4$ et $7+4=11$ donc le 11 décembre 2001. Comme $735 \equiv 0 \ \left( 7 \right)$ ce sera aussi un mardi.
	  \item On a $k=2,$ $u=34$ et  $v=44.$ La deuxième conjonction se produit $\nombre{3570}$ jours après $J_0$ et $\nombre{ 2835}$ jours après $J_{1}.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}
\begin{enumerate}
  \item 
	\begin{enumerate}
	  \item L'équation possède des solutions car $m\wedge n \mid a-b.$
	  \item $\left( u_{0},v_{0} \right) $ est solution donc $u_0m+v_0n=a-b$ et par conséquent $a-u_0m=b+v_0n.$ On pose $x=a-u_0m=b+v_0n.$ $x$ convient.
	\end{enumerate}
  \item Si $\left( S \right)$ possède des solutions, il existe $\left( u,v \right)\in \GZ^2$ tel que $x=a+um=b+vn.$ L'équation $um-vn=a-b$ possède donc des solutions, on en déduit que $m\wedge n\mid a-b.$
\end{enumerate}

\end{exerciceptp}

\begin{exerciceptp}[]{\refcorrection{1}{1}{0}}

\end{exerciceptp}

\end{multicols*}
\end{document}
